Л.14 Графический метод решения задач нелинейного программирования. Лектор Бредихина О. А.

• Курс лекций по дисциплине "Основы математического моделирования социально-экономических процессов".  

• Второй раздел курса - нелинейное программирование.  

• Лекция 14: графический метод решения задач нелинейного программирования.  

• Первый раздел курса - линейное программирование.  

• Лекции 1-13: математическое моделирование экономических задач, графический метод, симплекс-метод, двойственные задачи, транспортная задача.  

• Задача нелинейного программирования: нахождение максимума или минимума нелинейной функции при ограничениях.  

• Применение в прогнозировании, управлении ресурсами, планировании обслуживания и ремонта оборудования.  

• Отличие от линейного программирования: экстремум может быть в вершине, внутри или на ребре многоугольника.  

• Нет общих методов решения задач нелинейного программирования.  

• Рассматриваются задачи с линейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений, нелинейной целевой функцией и линейной системой ограничений, нелинейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений.  

• Пример: найти экстремум функции f = 2x1 + x2 при ограничениях x1^2 + x2^2 <= 4.  

• Построение области допустимых решений: окружность с центром в начале координат и радиусом 2.  

• Определение максимума целевой функции и построение линии уровня f = 0.  

• Построение линии уровня f = 0 и перемещение её в направлении вектора градиента.  

• Нахождение координат точки касания и решение системы уравнений.  

• Определение значений x1 и x2 и проверка правильности решения.  

• Пример: найти экстремум функции f при ограничениях x1 >= 0, x2 >= 0, x1 + x2 <= 12.  

• Построение области допустимых решений и определение полуплоскостей, удовлетворяющих неравенствам.  

• Определение направления стрелок для полуплоскостей и завершение построения.  

• Область допустимых решений - выпуклый многоугольник.  

• Целевая функция не линейна, поэтому строим линии уровня.  

• Приравниваем целевую функцию к константе ц, ц > 0.  

• Строим окружности с центром в точке д с координатами 2, 3 и радиусом корень из ц.  

• Определяем конечную точку заштрихованной области.  

• При ф стремится к максимуму, линия уровня проходит через точку с.  

• Определяем координаты точек с и д.  

• Подставляем координаты в целевую функцию для нахождения максимума и минимума.  

• Максимум - 58 при значениях 9, 0, минимум - 0 при значениях 2, 3.  

• Строим область допустимых решений, заменяя знаки неравенств на знаки равенства.  

• Определяем границы области допустимых решений.  

• Строим линии уровня целевой функции, приравнивая ф к константе ц.  

• Определяем координаты точек о и е.  

• Находим координаты точки е аналитически.  

• Подставляем координаты в целевую функцию для нахождения максимума и минимума.  

• Строим область допустимых решений, заменяя знаки неравенств на знаки равенства.  

• Определяем границы области допустимых решений.  

• Строим линии уровня целевой функции, приравнивая ф к константе ц.  

• Определяем координаты точек а и д.  

• Подставляем координаты в целевую функцию для нахождения максимума и минимума.  

• Максимум - 13, минимум - 0.  

• Строим область допустимых решений, заменяя знаки неравенств на знаки равенства.  

• Определяем границы области допустимых решений.  

• Строим линии уровня целевой функции, приравнивая ф к константе ц.  

• Определяем координаты точек о и д.  

• Подставляем координаты в целевую функцию для нахождения максимума и минимума.  

• Максимум - 4, минимум - 0.