Аналитическая механика 8. Принцип Гамильтона.

• Вариационные принципы делятся на дифференциальные и интегральные.  

• Дифференциальные принципы: принцип Даламбера-Лагранжа, принцип Журдена, принцип Гаусса.  

• Интегральные принципы: принцип Мопертюи, Гаранжа и Кубе.  

• Принцип наименьшего действия: среди всех траекторий выбирается та, вдоль которой функционал принимает минимальное значение.  

• История: Мапертюи, Ньютон, Вольтер, Тейлер.  

• В видео обсуждаются вариационные принципы механики, которые были сформулированы в работах Мопертюи, Лагранжа, Якоби и Гамильтона.  

• Вариационные принципы позволяют определить движение тела по инерции, когда оно движется по гладкой поверхности.  

• Видео объясняет, что такое функционал действия по Гамильтону и как его определить.  

• Вариация кривой определяется как частное производное семейства кривых по параметру альфа, умноженное на величину дельта альфа.  

• Видео обсуждает свойства функционала, такие как его отображение из пространства функций в числовое множество и его превращение.  

• Для измерения расстояния между функциями в бесконечномерном пространстве используется норма, которая определяется как максимум модулей компонентов функции или компонентов скоростей.  

• Норма функции должна быть неотрицательной, равной нулю только для тождественно равной нулю функции, и мультипликативной относительно умножения на константу.  

• Дифференциал функционала - это сумма двух слагаемых, одно из которых линейно по вариациям, а второе - бесконечно малая величина более высокого порядка.  

• Вариация функционала действия по Гамильтону равна нулю на экстремали функционала.  

• Экстремаль функционала - это функция, для которой дифференциал функционала равен нулю на любых вариациях.  

• Экстремаль функционала обеспечивает, что функционал имеет нулевой дифференциал при любых превращениях.  

• Экстремаль функционала является решением уравнений Эйлера-Лагранжа.  

• В видео обсуждается вариационное исчисление, которое возникло исторически и решалось многими математиками.  

• Три типичные задачи вариационного исчисления: задача цепной линии, задача брахистохрона и задача царицы Дидоны.  

• Обсуждается уравнение движения и вариационный принцип Гамильтона.  

• Уравнение движения эквивалентно условию, что функция удовлетворяет соответствующей системе уравнений, называемой уравнениями Элера-Лагранжа.  

• В вариационном принципе Гамильтона, если функция удовлетворяет условиям липшица, то решение может существовать, но не быть единственным.  

• В случае кинетического фокуса, решение может не существовать вообще.  

• В пространстве, где каждой точке соответствует момент времени, существуют пары точек, через которые можно провести бесконечно много прямых путей, на которых функционал вариации функционала равен нулю.  

• На сфере кратчайшими путями являются дуги больших кругов, а на прямой - прямые пути.  

• Если на дуге нет кинетических фокусов, то функционал принимает минимальное значение на прямом пути, и решение будет единственным.  

• Если система механическая и натуральная, то при достаточно близких моментах времени и краевых условиях решение уравнения Лагранжа дает локальный минимум функционала действия.  

• Гамильтон опубликовал свою работу в 1834 году, а Остроградский спустя четыре года показал, что для общих систем с голономными связями можно вести функционал с волной от функционала Гамильтона.  

• В литературе этот принцип называется принципом Гамильтона-Остроградского.  

• Рассматривается принцип Гамильтона в расширенном фазовом пространстве, где точка в пространстве определяется набором координат и импульсов.  

• Вариационная задача двух точек: найти кривые, соединяющие начальную и конечную точки, на которых функционал действия стационарен.  

• Функция Лагранжа определяется как разность между скалярным произведением и функцией Гамильтона.  

• Канонические уравнения получаются из принципа Гамильтона в расширенном фазовом пространстве.  

• Принцип Мопертю-Лагранжа-Якоби применяется для движения при постоянном значении энергии.  

• Траектория должна находиться на энергетическом многообразии, и функционал действия должен быть минимальным.  

• Принцип Коши-Гамильтона приводит к задаче поиска геодезической в пространстве с определенной метрикой.  

• Материальная точка движется по инерции по гладкой поверхности, если потенциальное поле отсутствует.