Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14

• Дана правильная четырехугольная призма с основанием квадрат и боковым ребром 2.  

• Точки М и Н - середины ребер А1Б1 и ЦЦ1 соответственно.  

• Доказать перпендикулярность МН и БЦ1 и найти расстояние от точки М до плоскости БЦ1Д.  

• Ребра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны.  

• Используем метод координат для доказательства перпендикулярности векторов МН и БЦ1.  

• Скалярное произведение векторов равно нулю, что означает перпендикулярность.  

• Начало системы координат совпадает с точкой Б.  

• Оси: ось Х, ось Y, ось Z.  

• Находим координаты точек М, Н, Б и Ц1.  

• Координаты точки М: корень из двух на два, ноль, два.  

• Координаты точки Н: ноль, корень из двух, один.  

• Координаты точки Б: ноль, ноль, ноль.  

• Координаты точки Ц1: ноль, корень из двух, два.  

• Скалярное произведение векторов МН и БЦ1 равно нулю.  

• Вектор МН перпендикулярен вектору БЦ1, что означает перпендикулярность прямых МН и БЦ1.  

• Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле.  

• Уравнение плоскости: аИкс + бИгрек + цЗет + д = 0.  

• Плоскость проходит через начало координат, поэтому д = 0.  

• Подставляем координаты точек Ц1 и Д в уравнение плоскости.  

• Решаем систему уравнений для нахождения коэффициентов а, б и ц.  

• Уравнение плоскости: корень из двух Икс - корень из двух Игрек + Зет = 0.  

• Подставляем координаты точки М в уравнение плоскости.  

• Расстояние равно корень из двух умножить на корень из двух на два минус корень из двух умножить на ноль плюс два.  

• Расстояние равно три корня из пяти.