Артем Александров - Модель Курамото и феномен синхронизации

• Приветствие и извинения за повтор.  

• Обзор феномена синхронизации и модели Курамото.  

• План: модель Курамото, феноменология синхронизации, применение модели.  

• Модель Курамото: осцилляторы, взаимодействующие через синус.  

• Пример системы двух осцилляторов и их уравнения движения.  

• Введение новых переменных и решение системы.  

• Определение параметра порядка как средней фазы осцилляторов.  

• Уравнение движения с параметром порядка.  

• Уравнение самосогласования и его решение.  

• Фазовый переход по константе связи.  

• Критическое значение константы связи и функция распределения частот.  

• Оценка параметра порядка в пределе большого числа осцилляторов.  

• Обсуждение определения синхронизации.  

• График параметра порядка от константы связи.  

• Открытые вопросы: учет конечного числа осцилляторов и поправки.  

• Рассматриваются различные распределения частот в модели Курамото.  

• Обсуждается, как синхронизация происходит в динамике.  

• Рассматриваются модели с различными типами графов.  

• Модель на полном графике с одинаковыми частотами описывается в терминах трех глобальных переменных.  

• Ватанабэ и Строгац показали, что модель имеет интегралы движения.  

• Осцилляторы всегда находятся на единичной окружности, что позволяет использовать преобразование Мебиуса.  

• Преобразование Мебиуса связывает глобальные переменные с микроскопическими степенями свободы.  

• Модель можно описать в терминах преобразования Мебиуса, которое задается тремя параметрами.  

• Преобразование Мебиуса зависит от времени, что описывает динамику модели.  

• Уравнение движения модели содержит линейную комбинацию генераторов группы Мебиуса.  

• Это приводит к размерной редукции и появлению интегралов движения.  

• Преобразование Мебиуса сохраняет кросс-соотношения, что объясняет интегралы движения.  

• Модель на полном графике может быть описана в терминах трех глобальных переменных.  

• Динамика модели сводится к эволюции под действием преобразования Мебиуса.  

• Глобальные переменные описывают ширину области синхронизации и чистоту осцилляторов.  

• Система уравнений связана с потоком на гиперболическом диске.  

• Правая часть уравнения удовлетворяет градиентному условию.  

• Геодезические соединяют точку внутри диска с точками на его границе.  

• Конфорный барицентр описывает динамику системы.  

• Градиентный поток связан с функцией, которая является суммой логарифмов ядер Пуассона.  

• Функция Буземана связана с геодезическими и горациклами.  

• Полный граф с одинаковыми частотами осцилляторов приводит к синхронизации.  

• Динамика системы описывается потоком на группе Мебиуса.  

• В случае графа с произвольной топологией вводятся локальные параметры порядка.  

• Топология графа влияет на процесс синхронизации.  

• В пределе большого числа вершин критическая константа подплывает.  

• Модель Курамото на графе типа звезда демонстрирует фазовый переход.  

• Переход от хаба к листьям описывается потоком на группе Мебиуса.  

• В пределе большого числа осцилляторов параметры порядка стремятся к параметру группы Мебиуса.  

• Фазовый переход меняет порядок со второго на первый.  

• Топология графа влияет на порядок фазового перехода.  

• Для графа звезда переход из несинхронизированного в синхронизированное состояние является переходом первого рода.  

• Для точного усреднения требуется очень большое время, что не всегда возможно.  

• Рассматривается граф "длинная звезда", где лучи имеют разную длину.  

• Синхронизация происходит пошагово, начиная с хаба.  

• В пределе большой длины лучей параметр порядка обращается в ноль.  

• Для графа "длинная звезда" есть три константы связи.  

• Две из них совпадают с графом "звезда" с единичной длиной лучей.  

• Синхронизация начинается с хаба, затем синхронизуются ближайшие вершины и так далее.  

• В синхронизованной фазе параметр порядка может обращаться в ноль.  

• При определенных значениях константы связи возникает состояние с высокой симметрией.  

• Все осцилляторы группируются в группы, соответствующие длине лучей.  

• Синхронизованные состояния стабильны, что подтверждается теоремой Гиршгорина.  

• Возмущения в системе приводят к стабильным решениям.  

• Это применимо к графам "длинная звезда", "звезда" и циклическому графу.  

• Рассматривается декартово произведение двух графов.  

• Если модель точно решаема на каждом графе, то и на их произведении она решаема.  

• Порядок фазового перехода зависит от типа графов.  

• Преобразование Мебиуса не всегда приводит к низкоразмерной динамике.  

• Важно учитывать автоморфизмы матрицы смежности.  

• Для полного графа и графа "звезда" динамика сводится к потоку на группе Мебиуса.  

• Вопрос о классификации графов, для которых динамика сводится к потоку на группе Мебиуса, остается открытым.  

• Возможно, это связано с автоморфизмами графов.  

• Матрица смежности должна быть порождена матрицей Картана для обобщения на классические системы корней.  

• Преобразование ВДУ применяется не к каждой вершине, а к разности между хабом и отходящими вершинами.  

• Это преобразование работает, но сводится к динамике.  

• Вопрос о том, какие графы отвечают определенным уравнениям движения.  

• В графах "звезда" и "длинная звезда" осцилляторы кластеризуются.  

• В "звезде" лучи собираются в один кластер, а хаб ездит отдельно.  

• В "длинной звезде" осцилляторы внутри луча собираются в группы, а хаб ездит отдельно.  

• Попытки связать кластеры с автоморфизмами группы Мебиуса.  

• Орбиты группы автоморфизмов разбивают граф на кластеры.  

• В сложных графах может возникать состояние химеры, где в одном кластере все синхронизованы, а в другом нет.  

• Модель Курамото используется для описания систем Джизесоновских контактов и коннектом человеческого мозга.  

• Синхронизация важна в биологических нейронных сетях и может быть использована для создания искусственных нейронных сетей.  

• При определенных параметрах могут возникать хаотические явления.  

• Модель Курамото связана с геодезическими на гиперболическом диске и уравнением Шрама-Левнера.  

• Есть работы, связывающие модель Курамота с моделью Калоджера.  

• Градиентный поток связан с потоком Ионосова.  

• Обобщение модели Курамота на более сложные степени свободы.  

• Граница области может быть сложнее, чем кажется.  

• Вопрос о поведении осцилляторов на границе таких областей остается открытым.  

• Обсуждение преобразования Мебиуса и его применения в гиперболическом пространстве.  

• Упоминание о попытках движения в эту сторону со стороны сетей.  

• Обсуждение обобщения преобразования Мебиуса на многомерные пространства.  

• Упоминание работы по обобщению на многомерные пространства.  

• Обсуждение аналогов картинки на полном графике и мебиусов на старшей размерности.  

• Рассуждения о возможности редуцирования моделей Курамото.  

• Важность симметрии графов и синхронизованных фаз.  

• Обсуждение параметра порядка и его аналога в калибровочной теории.  

• Введение дробных параметров порядка в фазе, заменяющих обычные параметры порядка в Курамото.  

• Завершение обсуждения.  

• Благодарность за внимание.