Интегрирование методом внесения под знак дифференциала и методом замены переменной

• В предыдущих видео были рассмотрены свойства неопределенного интеграла и таблица интегралов.  

• Для нахождения интегралов используются методы внесения под знак дифференциала и замены переменной.  

• Эти методы имеют схожие принципы, но различаются в оформлении.  

• Для использования метода нужно знать свойства неопределенного интеграла и формулу дифференциала функции.  

• Пример: интеграл от косинуса пяти икс плюс три д икс.  

• Использование шестой формулы интеграла не подходит, так как под знаком дифференциала стоит икс, а не пять икс плюс три.  

• Находим дифференциал от пяти икс плюс три: пять икс плюс три штрих умножить на д икс.  

• Производная от пяти икс плюс три равна пяти, умноженной на д икс.  

• Подставляем выражение в интеграл и выносим константу за знак интеграла.  

• Переписываем интеграл и обозначаем пять икс плюс три как т.  

• Находим дифференциал от т: пять икс плюс три штрих умножить на д икс.  

• Делаем замену: вместо пять икс плюс три пишем т, а вместо д икс одна пятая дт.  

• Выносим константу за знак интеграла и получаем шестую формулу.  

• Преобразуем выражение под знаком интеграла: икс кубе разделить на корень из четыре минус икс восьмой.  

• Находим дифференциал от икс четвертой: четыре икс в кубе умножить на д икс.  

• Выражаем икс в кубе через д икс четвертой и подставляем в интеграл.  

• Преобразуем выражение: икс кубе разделить на корень из два в квадрате минус икс четвертый в квадрате.  

• Обозначаем икс четвертый как т и находим дифференциал от т.  

• Выносим константу за знак интеграла и получаем девятую формулу.  

• Находим дифференциал от трех синусов в квадрате икс: три синуса икс умножить на производную от синуса в квадрате.  

• Используем тригонометрическую формулу для синуса двойного угла.  

• Приравниваем самое левое выражение к самому правому.  

• Получаем, что три синуса двух икс д икс равны д от трех синусов в квадрате икс.  

• Синус двух икс д икс равен одной трети д от трех синусов в квадрате икс.  

• Записываем интеграл как е в степени три синус в квадрате икс умножить на одну треть д от трех синусов в квадрате икс.  

• Выносим одну треть за знак интеграла, получаем е в степени три синус в квадрате икс д от трех синусов в квадрате икс.  

• Это четвертая формула, находим интеграл методом внесения под знак дифференциала.  

• Находим интеграл от икс квадрат, деленное на единицу минус икс двадцатый до икс.  

• Делаем замену: икс равен один минус т, д икс равен д от один минус т.  

• Получаем интеграл один минус т в квадрате разделить на т в двадцатой степени и на минус дт.  

• Применяем формулу сокращенного умножения квадрат разности.  

• Получаем минус интеграл один в квадрате минус два т и плюс т квадрат разделить на т в двадцатой степени.  

• Делим почленно и получаем минус интеграл т в минус двадцатый дт.  

• Интегрируем каждое слагаемое по первой формуле.  

• Получаем выражение: минус т в степени минус семнадцать разделить на минус семнадцать плюс ц.  

• Делаем обратную замену и получаем ответ: единица разделить на девятнадцать один на один минус икс в девятнадцатом минус единица разделить на девять один на один минус икс восемнадцатом плюс один разделить на семнадцать один на один минус икс в семнадцатом плюс ц.