Лекция 16. Теория делимости

• Коммутативное ассоциативное кольцо с единицей и без делителей нуля.  

• Определение деления элементов: элемент а делится на элемент б, если существует элемент с, что а = бс.  

• Обозначения: а делит б и б делит ц.  

• Элементы а и б ассоциированы, если а = бс и с обратим.  

• Отношение ассоциированности является отношением эквивалентности.  

• Исключение нулевого элемента из ассоциированности.  

• Ассоциированность выражается через делимость: а делит б и б делит а.  

• Доказательство: если а и б ассоциированы, то а = бс и б = ас, что приводит к обратимости с.  

• Исключение нулевого элемента: ноль ассоциирован только сам с собой.  

• Определение евклидова кольца: целостное кольцо без делителей нуля, для которого существует алгоритм деления с остатком.  

• Введение нормы: функция, которая сопоставляет ненулевым элементам кольца неотрицательные целые числа.  

• Свойства нормы: норма произведения элементов не меньше нормы каждого из них.  

• Лемма: норма аб равна норме а тогда и только тогда, когда б обратим.  

• Доказательство: если б обратим, то норма а равна норме аб.  

• Если б не обратим, то а делится на аб с ненулевым остатком, что приводит к неравенству норм.  

• Примеры евклидовых колец: кольца многочленов и целые числа.  

• Применение алгоритма деления с остатком для евклидовых колец.  

• Кольцо целых чисел с операциями сложения и умножения.  

• Клидовое кольцо - кольцо с функцией, которая существует и удовлетворяет определенным требованиям.  

• Пример клидового кольца: кольцо многочленов над полем.  

• Норма многочлена - его степень.  

• Теорема отделения с остатком для целых чисел и многочленов.  

• НОД элементов а и б - это их общий делитель, который делит все общие делители.  

• В клидовых кольцах НОД существует и единственен с точностью до ассоциированных элементов.  

• Алгоритм Евклида для нахождения НОД: деление с остатком.  

• Процесс деления заканчивается, когда остаток становится нулевым.  

• Последний ненулевой остаток является НОД.  

• Если последний ненулевой остаток равен нулю, то НОД равен б.  

• Если НОД равен б, то он делит все общие делители, что делает его наибольшим.  

• НОД можно представить как линейную комбинацию элементов а и б.  

• Доказательство по индукции: выражение НОД через предыдущие остатки.  

• Обратный ход в алгоритме Евклида для получения линейной комбинации.  

• Элементы a и b из кольца R без нуля называются взаимно простыми, если их НОД равен единице.  

• НОД может быть любым обратимым элементом, ассоциированным с единицей.  

• Для взаимно простых элементов можно подобрать комбинацию, равную единице, что полезно в различных задачах, включая основную теорему арифметики.  

• Элемент p из области целостности R называется простым, если он делит произведение любых двух элементов a и b.  

• Элемент p называется неприводимым, если его нельзя разложить на два множителя, один из которых обратим.  

• Кольца с однозначным разложением на простые множители включают кольца, где простота и неприводимость совпадают.  

• Многочлен f от x в кольце многочленов над полем не равен константе и неприводим, если его нельзя разложить на произведение двух многочленов, один из которых константа.  

• Многочлены не приводим, если их нельзя разложить на произведение многочленов с положительной степенью.  

• В евклидовом кольце p элемент p неприводим тогда и только тогда, когда он прост.  

• Если p делит произведение n элементов, то он делит один из множителей.  

• Доказательство включает использование леммы о линейном представлении НОД.  

• В евклидовом кольце любой ненулевой необратимый элемент разлагается на простые множители.  

• Разложение однозначно с точностью до порядка множителей и умножения на обратимые элементы.  

• Кольца с таким свойством называются факториальными.  

• Доказательство включает два утверждения: существование и единственность разложения.  

• Если элемент a не разлагается, то он имеет минимальную норму среди всех таких элементов.  

• Норма элемента a является целым неотрицательным числом, что позволяет выбрать элемент с минимальной нормой.  

• Если элемент не приводим, то он прост и равен сам себе.  

• Если элемент приводим, то его множители необратимы и имеют меньшие нормы.  

• Если оба множителя необратимы, то они разлагаются на простые множители.  

• Если элемент разложился неоднозначно, то количество множителей должно быть одинаковым.  

• Существует подстановка, которая ассоциирует множители в обоих разложениях.  

• Если количество множителей одинаково, то они ассоциированы с точностью до перестановки.  

• В кольце с единственным простым элементом любой элемент разлагается на простые множители.  

• В кольце многочленов над полем число неприводимых многочленов бесконечно.  

• В конечном поле есть неприводимые многочлены любой степени.  

• Любой многочлен с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учетом кратности.  

• Любой многочлен разлагается на линейные множители.  

• Неприводимые многочлены на C являются линейными многочленами.  

• Поле называется алгебраически замкнутым, если любой элемент имеет ровно n корней.  

• Комплексные числа являются алгебраически замкнутым полем.  

• Конечные поля не являются алгебраически замкнутыми.