Стереометрия | Двугранный угол. Биссектор двугранного угла.

• Двугранный угол - это фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой.  

• Двугранные углы бывают острыми, тупыми и развернутыми.  

• Величина двугранного угла определяется как величина плоского угла, образованного плоскостью, проходящей через точку на ребре двугранного угла перпендикулярно ребру.  

• Если два выпуклых плоских угла параллельны и сонаправлены, то их линейные углы равны.  

• В доказательстве теоремы не учтено, что треугольники, лежащие в разных плоскостях, не равны по трем сторонам.  

• Необходимо доказать равенство фигур в разных плоскостях.  

• Бисектор двугранного угла - это полуплоскость, проходящая через ребро двугранного угла и делящая его на два двугранных угла одинаковой величины.  

• Бисектор принадлежит биектору двугранного угла.  

• Если точка принадлежит биектору двугранного угла, то расстояние от этой точки до граней двугранного угла одинаково.  

• Обратное утверждение: если расстояние от точки до граней двугранного угла одинаково, то точка принадлежит биектору.  

• Трехгранный угол - это объект, состоящий из точки и трех лучей, не лежащих в одной плоскости.  

• Внутри каждого из трех плоских углов образуется трехгранный угол, который имеет три двугранных угла при каждом ребре.  

• У каждого двугранного угла есть биектор, и теорема о биссекторе двугранного угла применима к трехгранному углу.  

• В видео обсуждаются теоремы о двугранных углах, которые встречаются в курсе планиметрии.  

• Доказывается, что три бисектора внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, что является аналогом теоремы о вписанной окружности.  

• В тетраэдре можно вписать сферу, которая касается всех четырех граней тетраэдра.  

• Это является аналогом теоремы о вписанном треугольнике в плоскости.  

• Доказывается теорема о площади ортогональной проекции многоугольника, которая зависит от двугранного угла.  

• В случае параллельных плоскостей площадь проекции равна площади исходного многоугольника.  

• В случае перпендикулярных плоскостей площадь проекции равна нулю.  

• В видео обсуждается теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость.  

• Доказывается, что площадь проекции равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями.  

• Рассматривается треугольник, у которого одна сторона параллельна ребру двугранного угла.  

• Доказывается, что проекция одной из сторон треугольника равна другой стороне, умноженной на косинус угла между плоскостями.  

• Выбираются параллельные прямые, проходящие через вершины треугольника, и разбивается треугольник на два треугольника.  

• Доказывается, что сумма площадей двух полученных треугольников равна площади исходного треугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями.  

• Выпуклый многоугольник можно разбить на треугольники с помощью диагоналей, так как любой отрезок, концы которого принадлежат выпуклой фигуре, целиком содержится в ней.  

• Для не выпуклого многоугольника также можно провести диагонали, но нет гарантии, что они будут выходить из одной вершины.  

• Можно разбить невыпуклый многоугольник на выпуклые, проведя все прямые, которые содержат его стороны.  

• Каждый полученный многоугольник является пересечением полуплоскостей, что делает его выпуклым.  

• Формула площади ортогональной проекции справедлива для любого многоугольника, но также и для фигур, имеющих площадь, таких как измеримые фигуры.  

• Для последних требуется понятие предельного перехода, которое не рассматривается в данном курсе.