Геометрия 8 класс. Теорема Фалеса. Формулировки и доказательства.

• Теорема Фалеса названа в честь древнегреческого философа и математика Фалеса из Милета.  

• Фалес жил около 625-545 годов до н.э. и считается основателем Милетской школы.  

• Теорема Фалеса связана с определением расстояния от берега до корабля.  

• В школьных учебниках встречаются две формулировки теоремы Фалеса.  

• Первая формулировка: если параллельные прямые отсекают равные отрезки на одной стороне угла, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне.  

• Вторая формулировка: если на одной из двух прямых отложить равные отрезки и провести через их концы параллельные прямые, то они отсекут равные отрезки на второй прямой.  

• Доказательства теоремы зависят от чертежа, но смысл остается одинаковым.  

• Теорема применима к любым секущим прямым, независимо от их расположения.  

• Не важно, где откладываются равные отрезки и как они расположены на секущих.  

• Теорема Фалеса используется для деления отрезка на равные части.  

• Пример: разделение дощечки на три равные части для создания рамки.  

• Использование линейки для точного деления и получения трех равных частей.  

• Соединение точек, отложенных для деления, создает чертеж теоремы Фалеса.  

• Применение теоремы для получения трех одинаковых дощечек.  

• Рассмотрение каждого чертежа и доказательство теоремы Фалеса.  

• Отрезки a1, a1, a2 и a2, a3 равны.  

• Через точки a1, a2, a3 проведены параллельные прямые.  

• Задача: доказать, что отрезки b1, b2 и b3 равны.  

• Проведены параллельные прямые через точки b1 и b2.  

• Получены дополнительные точки e и f.  

• Доказательство равенства треугольников a1b1, b1f и b2e.  

• Четырехугольник a1a2f, b1 - параллелограмм.  

• Противоположные стороны равны: a1a2 = b1f.  

• Аналогично для четырехугольника a2a3e, b2.  

• Углы a1b1 и b1f равны как соответственные при параллельных прямых.  

• Углы b2e и b3e равны как соответственные при параллельных прямых.  

• Углы a1b1, b1f и b2e равны как углы с соответственно параллельными сторонами.  

• Все три треугольника равны по стороне и двум прилежащим углам.  

• Стороны a1b1, b1b2 и b2b3 равны как стороны в равных треугольниках.  

• Доказано, что отрезки на второй стороне угла равны.  

• Отрезки a1, a2 и a2, a3 равны, но не от вершины угла.  

• Проведены параллельные прямые через концы отрезков.  

• Задача: доказать равенство отрезков b1b2 и b2b3.  

• Проведена прямая через точку b2, параллельная a1a3.  

• Получены точки f и e.  

• Доказательство равенства треугольников b1b2f и b2eb3.  

• Четырехугольники a1f, b2 и a2e, b2 - параллелограммы.  

• Противоположные стороны равны: fb2 = a1a2 и b2e = a2a3.  

• Углы a1b1, b1f и b2e равны как углы с соответственно параллельными сторонами.  

• Рассматриваются треугольники с равными сторонами.  

• Вертикальные углы равны, так как имеют общую вершину и стороны.  

• Углы при параллельных прямых и секущей равны.  

• Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.  

• Стороны, лежащие напротив равных углов, равны.  

• Доказательство равенства треугольников.  

• Если через концы отрезков провести параллельные прямые, то на второй стороне будут одинаковые отрезки.  

• Доказательство идентично для разных рисунков.  

• Проведение параллельной прямой для доказательства.  

• Прямые параллельны, стороны попарно параллельны.  

• Четырехугольники являются параллелограммами.  

• Противоположные стороны равны, что доказывает равенство отрезков.  

• Доказательство равенства отрезков через параллелограммы.  

• Рассмотрены все варианты теоремы Фалеса.  

• Теорема о пропорциональных отрезках будет рассмотрена позже.  

• Видео завершается пожеланиями успехов и удачи.