ЕГЭ. Планиметрия. Теоремы Менелая и Чевы, доказательство двумя способами.

• Вспоминаем признаки подобия треугольников: по двум углам, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, по трем пропорциональным сторонам.  

• В подобных треугольниках соответствующие стороны лежат напротив равных углов.  

• Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.  

• При пересечении двух параллельных прямых секущими образуются два подобных треугольника.  

• Коэффициент подобия определяется отношением соответствующих сторон.  

• В трапеции треугольники, примыкающие к основаниям, также подобны.  

• Теорема Менелая: если прямая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны, то произведение отношений отрезков равно единице.  

• Доказательство теоремы Менелая двумя способами.  

• Теорема Чевы: если три чевианы треугольника пересекаются в одной точке, то произведение отношений отрезков равно единице.  

• Чевианы — это отрезки, соединяющие вершину треугольника с произвольной точкой на противоположной стороне.  

• Обратная теорема Менелая: если произведение отношений отрезков равно единице, то точки пересечения прямой с треугольником лежат на одной прямой.  

• Обратная теорема Чевы: если произведение отношений отрезков равно единице, то три чевианы пересекаются в одной точке.  

• Теорема Менелая утверждает, что три прямые пересекаются в одной точке, если произведения их отношений равны единице.  

• Теорема важна, так как часто встречается в задачах по планиметрии и стереометрии.  

• Доказательство теоремы будет рассмотрено далее.  

• Для доказательства используется подобие треугольников.  

• В исходной схеме нет подобных треугольников, поэтому проводится дополнительное построение.  

• Проводится прямая, параллельная стороне AB, что создает две пары подобных треугольников.  

• Треугольники AMF и CKF подобны по двум углам.  

• Треугольники MNB и CNK также подобны по двум углам.  

• Составляются отношения соответственных сторон для каждой пары треугольников.  

• Выбираются отношения, которые выгодны для доказательства теоремы.  

• Из трех отношений выбираются два, которые содержат отрезки, участвующие в теореме Менелая.  

• Выражаются значения отрезков и приравниваются.  

• Выражаются значения отрезков из подобия треугольников.  

• Уравниваются левые и правые части пропорций.  

• Доказывается, что произведение отношений равно единице, что завершает доказательство теоремы Менелая.  

• Доказательство основывалось на подобии треугольников, созданных дополнительным построением.  

• Этот способ создания подобных треугольников часто применяется в геометрии.  

• Домашнее задание: самостоятельно доказать теорему Менелая, используя полученные знания.  

• Построение секущей, чтобы она была ближе к верхней вершине.  

• Создание подобных треугольников с помощью параллельных прямых.  

• Продолжение секущей до пересечения с параллельной прямой.  

• Описание построения и нахождение подобных треугольников.  

• Объяснение, что две секущие пересекают параллельные прямые, образуя два подобных треугольника.  

• Указание на необходимость видеть точку пересечения секущих.  

• Примеры подобных треугольников: БКМ и ЦНФ.  

• Объяснение, почему треугольники подобны.  

• Указание на важность правильного выбора точки пересечения секущих.  

• Доказательство теоремы Чевы с помощью теоремы Менелая.  

• Рассмотрение треугольников АБК и АЦБ с секущими ЦМ и АН.  

• Запись отношений по теореме Менелая для двух ситуаций.  

• Применение теоремы Менелая к треугольникам АБК и АЦБ.  

• Указание на последовательность действий при применении теоремы.  

• Запись отношений и произведение отрезков, на которые делятся стороны треугольника.  

• Идем от вершины к точке пересечения, а не от вершины к вершине.  

• Применяем теорему Менелая для доказательства теоремы Чевы.  

• Переписываем левые части равенств и сокращаем одинаковые множители.  

• Переписываем левые части равенств и сокращаем множители.  

• Умножаем числитель правой части на знаменатель левой и наоборот.  

• Проверяем, что произведение отношений отрезков равно единице.  

• Доказываем лемму о площадях треугольников с общей высотой.  

• Площадь треугольника относится к площади другого треугольника как стороны, к которым проведена общая высота.  

• Применяем лемму для доказательства теоремы Чевы.  

• Записали условие и нашли отношения площадей треугольников.  

• Доказали, что площади треугольников, образованных на чивиане, относятся как амкц.  

• Это следствие из первой леммы о площадях.  

• Зарисовали треугольник и провели три чивианы, пересекающиеся в одной точке.  

• Обозначили точки пересечения и выделили треугольники.  

• Обозначили площади треугольников и доказали лемму о соотношении площадей.  

• Рассмотрели отношение площадей треугольников с два и с три.  

• Использовали перевернутую схему для доказательства.  

• Записали отношения площадей и пришли к выводу, что произведение отрезков равно единице.  

• Перемножили левые и правые части уравнений.  

• Получили, что произведение отношений равно единице.  

• Теорема Чевы доказана, так как чивианы пересекаются в одной точке.  

• Обратная теорема Чевы: если даны все отношения, нужно доказать, что отрезки пересекаются в одной точке.  

• На следующем занятии продолжим тему подобия треугольников.  

• Важно понимать возможности каждой теоремы, как теорема косинусов и теорема Герона.  

• Теорема Герона применяется, когда известны все три стороны треугольника, причем все стороны рациональные числа.  

• Важно записывать возможности каждой теоремы, чтобы не путать их применение.  

• Теорема Менелая: произведение отрезков равно единице, если известны два отношения.  

• Можно найти третье отношение, если известны два отношения в подобной схеме.  

• Теорема Чевы аналогична: если три отрезка пересекаются в одной точке, можно найти третье отношение.  

• Теорема Менелая полезна, когда известны или легко находятся два отношения.  

• Теорему можно применять на ЕГЭ без доказательства, так как она входит в школьную программу.  

• Важно понимать, как применять теорему в различных ситуациях.  

• Важно видеть и понимать схемы, чтобы применять теоремы.  

• Активное участие студентов в обсуждении помогает лучше усвоить материал.  

• Завершение занятия с пожеланиями хорошего вечера.