Никитин А.А. | Лекция 24 по математическому анализу, 1 курс, 2021-2022 | ВМК МГУ

• Начало новой темы: первообразная функция и неопределенный интеграл.  

• Обсуждение произношения слова "первообразная".  

• Рассматривается задача нахождения функции по известной производной.  

• Введение понятия промежутка AB.  

• Определение первообразной функции.  

• Функция f должна быть дифференцируема на интервале AB.  

• Для всех x из интервала AB выполняется равенство f'(x) = f.  

• Вопросы о существовании первообразной функции.  

• Описание всех первообразных функций.  

• Как найти первообразную функцию.  

• Примеры функций, не имеющих первообразных.  

• Теорема Дарбу о производной функции.  

• Проблема разрывов первого и второго рода.  

• Функция f + c также является первообразной.  

• Все первообразные функции отличаются на константу.  

• Применение теоремы Лагранжа для доказательства.  

• Если производная функции равна нулю, то функция является константой.  

• Теорема Лагранжа необходима для доказательства этого утверждения.  

• Неопределенный интеграл - это множество первообразных функций.  

• Первообразные функции имеют вид f + C, где C - константа.  

• Операция перехода от функции к ее первообразной называется интегрированием.  

• Множество всех первообразных функций называется неопределенным интегралом.  

• Неопределенный интеграл обозначается как f от x dx.  

• Константа в неопределенном интеграле может быть любой.  

• Обозначение f от x dx используется для всех первообразных функций.  

• Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.  

• Интеграл от f от x равен f от x + C.  

• Неопределенный интеграл линейно зависит от своих первообразных.  

• Линейная комбинация первообразных функций также имеет первообразную.  

• Первообразная линейной комбинации функций равна линейной комбинации первообразных.  

• Неопределенные интегралы определены с точностью до константы.  

• Операции дифференцирования и интегрирования являются взаимно обратными.  

• Таблица производных может быть переписана в таблицу интегралов.  

• Домашнее задание: составить таблицу интегралов из таблицы производных.  

• Вопрос о значении интеграла dx/x.  

• Объяснение необходимости модуля для определения первообразной.  

• Первообразная должна быть определена на всем промежутке, кроме нуля.  

• Константа в интеграле является кусочно-постоянной функцией.  

• Константа зависит от знака икса.  

• Пример с дифференцированием и интегрированием.  

• Два метода интегрирования: по частям и замена переменной.  

• Теорема интегрирования по частям.  

• Пример применения формулы интегрирования по частям.  

• Теорема замены переменной в неопределенном интеграле.  

• Композиция функций и производная сложной функции.  

• Пример доказательства формулы замены переменной.  

• Использование формулы замены переменной для упрощения интегралов.  

• Пример преобразования интеграла с использованием замены переменной.  

• Вопросы и ответы по теме.  

• Обсуждение анекдота про девушку-официантку и интеграл.  

• Желание снега и интегралов в ноябре.  

• Введение в комплексные числа и их свойства.  

• Введение в комплексные числа через упорядоченную пару.  

• Определение комплексного числа как выражения x + iy.  

• Характеристическое свойство комплексных чисел: равенство при совпадении действительной и мнимой частей.  

• Определение модуля числа z как корня из суммы квадратов действительной и мнимой частей.  

• Введение понятия сопряженного числа z^*.  

• Важное соотношение: произведение комплексного числа на его сопряженное равно модулю в квадрате.  

• Формулы для сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел.  

• Пример вычисления частного комплексных чисел.  

• Определение многочлена с комплексными коэффициентами.  

• Понятие корня многочлена и его степени.  

• Теорема Безу: корень многочлена равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен делится на z - z^0 без остатка.  

• Формулировка основной теоремы алгебры: всякий отличный от константы многочлен имеет хотя бы один корень в поле комплексных чисел.  

• Любой многочлен можно представить в виде произведения степеней.  

• Сумма степеней равна степени члена многочлена.  

• Пример: многочлен можно представить как произведение степеней z-z0, где z0 - корень кратности k.  

• Лемма о комплексных числах: если z0 - корень многочлена кратности k, то z0 сопряженное также является корнем кратности k.  

• Доказательство: z - z0 степени k, где z0 не является корнем многочлена.  

• Лемма используется для доказательства других теорем.  

• Лекция завершена, вопросы можно задать в чате.  

• Объяснение кратности корня: кратность корня - это степень, в которой z0 не является корнем многочлена.  

• Прощание с аудиторией.