Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

• Рассматривается уравнение прямой, проходящей через точку M0 с координатами x0, y0, z0 и параллельной вектору C с координатами mnp.  

• Вектор C называется направляющим вектором.  

• Соединяем начало координат с точкой M0 и проводим радиус-вектор от начала координат к M0, обозначая его как R0.  

• Проводим радиус-вектор от начала координат к произвольной точке M на прямой.  

• Выражаем вектор R как сумму векторов R0 и M0M по правилу сложения векторов.  

• Получаем параметрическое уравнение прямой: R = R0 + C * t, где R0 задает радиус-вектор, C - направляющий вектор, а t - параметр.  

• Выражаем координаты вектора R через координаты векторов R0 и C.  

• Приравниваем правые части уравнения, чтобы получить каноническое уравнение прямой: x - x0 / m = y - y0 / n = z - z0 / p.  

• Каноническое уравнение включает точку M0 и направляющий вектор C.  

• Задаем две точки A и B с координатами x1, y1, z1 и x2, y2, z2.  

• Используем вектор AB как направляющий вектор.  

• Вычисляем координаты вектора AB и подставляем их в каноническое уравнение.  

• Рассматриваем пересечение двух плоскостей, задающих прямую.  

• Направляющий вектор вычисляется как векторное произведение нормалей к плоскостям.  

• Находим точку M0, которая является решением системы уравнений.  

• Вычисляем нормали к плоскостям и находим направляющий вектор.  

• Находим координаты направляющего вектора и точку M0.  

• Составляем каноническое уравнение прямой, используя найденные данные.  

• Рассматриваются уравнения двух прямых в каноническом виде.  

• Прямые могут быть параллельны, пересекаться или скрещиваться.  

• Для определения взаимного расположения нужно найти направляющие векторы.  

• Прямые пересекаются, если смешанное произведение векторов равно нулю.  

• Смешанное произведение находится как векторное произведение первых двух векторов, умноженное на второй вектор.  

• Прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны.  

• Векторы не должны быть коллинеарны с векторами, проходящими через точки пересечения прямых.  

• Если все векторы коллинеарны, прямые совпадают.  

• Расстояние вычисляется как скалярное произведение вектора точки на направляющий вектор прямой.  

• Векторное произведение векторов равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах.  

• Высота параллелограмма равна площади, деленной на сторону.  

• Плоскость задается уравнением, прямая - параметрическим уравнением.  

• Уравнение плоскости подставляется в параметрическое уравнение прямой.  

• Возможны три случая: пересечение, параллельность, вхождение прямой в плоскость.  

• Угол между плоскостью и прямой находится через угол между векторами нормали и направляющего вектора.  

• Синус угла между плоскостью и прямой равен модулю скалярного произведения векторов, деленному на произведение их длин.  

• Пример с прямой и плоскостью показывает, как установить их взаимное расположение.  

• Параметрическое уравнение прямой подставляется в уравнение плоскости.  

• Если уравнение не имеет решений, прямые параллельны.