ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА | СЕМИНАР 10 | БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

• Билинейные формы - это функции, действующие на два аргумента.  

• Они линейны по каждому аргументу и могут быть записаны в координатной форме.  

• Пример: скалярное произведение векторов.  

• Скалярное произведение векторов в двумерном пространстве.  

• Запись в координатной форме и использование матрицы Грамма.  

• Матрица билинейной формы для скалярного произведения.  

• Второй дифференциал функции двух переменных.  

• Запись в виде билинейной формы для одинаковых столбиков.  

• Важность приведения билинейных форм к хорошему виду.  

• Исследование поведения функций многих переменных.  

• Важность знака второго дифференциала для поведения функции.  

• Замена базиса для приведения билинейных форм к хорошему виду.  

• Формула замены базиса для матрицы билинейной формы.  

• Сохранение знака определителя и ранга матрицы при замене базиса.  

• Сравнение с формулой для матрицы линейного преобразования.  

• Запись билинейной формы через координаты x1, y1, x2, y2, x3, y3.  

• Пример записи: x1y1 + 2x1y2 + 2x1y3 - 2x2y1 + 3x2y2 + x2y3 + x3y1 - 5x3y2 - 3x3y3.  

• Матрица билинейной формы не симметрична.  

• Определение симметричной билинейной формы: bxy = byx.  

• Доказательство симметричности матрицы билинейной формы.  

• Переход к работе с симметричными матрицами.  

• Квадратичные формы как функции, аналогичные билинейным формам.  

• Пример квадратичной формы: x1^2 + 2x1x2 + x2^2.  

• Матрица квадратичной формы соответствует матрице билинейной формы.  

• Возможность восстановления билинейной формы по симметричной квадратичной форме.  

• Пример восстановления: x1^2 + x2^2 + 3x3^2 + 10x1x2 - 2x1x3 + 4x2x3.  

• Деление перекрестных слагаемых пополам для симметричных форм.  

• Пример замены базиса: e1' = e1 - e2, e2' = e1 + e2.  

• Запись матрицы перехода и новой квадратичной формы в новом базисе.  

• Проверка симметричности новой матрицы.  

• Теоремы о существовании базиса с диагональным видом для квадратичной формы.  

• Канонический вид матрицы: единицы, минус единицы и нули.  

• Ранг формы и индексы инерции.  

• Метод Лагранжа: выделение полных квадратов.  

• Пример приведения квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.  

• Выделение полных квадратов и нахождение индексов инерции.  

• Вынесение восьмерки для удобства работы.  

• Добавление и вычитание выражений для получения новых переменных.  

• Замена переменных на штрихованные для упрощения вычислений.  

• Выражение матрицы перехода через новые переменные.  

• Определение индекса инерции и его значений.  

• Использование элементарных преобразований для получения диагональной матрицы.  

• Преобразование переменных для получения квадратов.  

• Использование невырожденной замены переменных.  

• Применение метода Лагранжа для выделения полных квадратов.  

• Преобразование матрицы для получения диагональной формы.  

• Вычитание и деление строк и столбцов для упрощения вычислений.  

• Проверка правильности преобразований и установление знака определенности формы.  

• Исследование знака квадратичной формы.  

• Положительно определенная форма: для любого вектора x из подпространства, x не равно нулю, k от x больше нуля.  

• Отрицательно определенная форма: для любого вектора x из подпространства, x не равно нулю, k от x меньше нуля.  

• Положительно или отрицательно полуопределенная форма: k от x больше или равно нулю или меньше или равно нулю соответственно.  

• Критерий Сильвестра: положительно определенная форма тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы квадратичной формы больше нуля.  

• Пример исследования квадратичной формы: k от x = -x1 в квадрате + 4x1x2 - 10x2 в квадрате.  

• Определение размерности и выписывание матрицы.  

• Проверка главных миноров: первый минор меньше нуля, второй больше нуля, форма отрицательно определена.  

• Пример исследования неопределенной формы: k от x = 9x1 в квадрате - 5x1x2 - 6x2 в квадрате.  

• Проверка миноров: первый минор больше нуля, второй меньше нуля, форма положительно определена.  

• Пример исследования формы с параметрами: k от x = 1 - 1alpha - 2alpha2 - 12alpha3.  

• Проверка миноров и определение знака в зависимости от параметра альфа.  

• Форма положительно определена при альфа от -4/3 до 0, в остальных случаях полуопределенная.