[s1 | 2024] Линейная алгебра, Р. А. Попков, лекция 5

• Умножение на фундаментальную транспозицию меняет четность перестановки на единицу.  

• Пример: умножение на транспозицию 12 меняет четность перестановки с нечетной на четную.  

• Произвольная транспозиция может быть реализована через композицию фундаментальных транспозиций.  

• Пример: для обмена первого и последнего элементов нужно провести несколько фундаментальных транспозиций в обратном порядке.  

• Для обмена двух элементов нужно провести нечетное число фундаментальных транспозиций.  

• Умножение на произвольную транспозицию меняет четность перестановки.  

• Любая транспозиция является нечетной перестановкой.  

• Любая перестановка раскладывается в произведение фундаментальных транспозиций.  

• Среди всех перестановок есть четные и нечетные.  

• Умножение на транспозицию меняет четность перестановки.  

• Существует объекция между множеством четных и нечетных перестановок.  

• Количество четных и нечетных перестановок равно, что означает, что четных ровно половина.  

• Рассматривается знак произведения двух перестановок сигма и пи.  

• Каждую перестановку можно разложить в произведение транспозиций.  

• Знак транспозиции равен минус единице, так как они нечетные.  

• Знак перестановки сигма равен минус единице в степени количества транспозиций.  

• Знак перестановки пи равен минус единице в степени эль.  

• Знак произведения перестановок равен произведению знаков транспозиций.  

• Знак перестановки является гомоморфизмом из группы всех перестановок в группу из двух элементов: плюс-минус один.  

• Любой перестановке ставится в соответствие ее знак.  

• Знак обратной перестановки равен знаку изначальной перестановки.  

• Четность длины произведения транспозиций всегда одинакова.  

• Четность цикла длины к равна четности числа к минус один.  

• Цикл длины к можно разложить на к минус одну транспозиций.  

• Множество четных перестановок замкнуто относительно произведения.  

• Оно является подгруппой в группе всех перестановок.  

• Рассматривается игра пятнашки с шестнадцатью позициями.  

• Вопрос: можно ли из текущей позиции получить правильную?  

• Правильная позиция соответствует тождественной перестановке, что невозможно.  

• Каждый ход в игре соответствует транспозиции.  

• Пример: перемещение числа 12 на место 16.  

• Четность ходов влияет на четность перестановки.  

• Для возвращения числа 16 на место требуется четное число ходов.  

• Если перестановка была нечетной, она останется нечетной после четного числа ходов.  

• Пример анализа игры с помощью группы перестановок.  

• Произведение транспозиций определено неоднозначно.  

• Можно добавить несколько транспозиций для тождественности.  

• Разложение перестановки в произведение независимых циклов.  

• Перестановка раскладывается на независимые циклы.  

• Каждый цикл раскладывается на определенное количество транспозиций.  

• Пример: цикл длины k раскладывается на k-1 транспозиций.  

• Подсчет транспозиций: сложение чисел k1-1, k2-1 и т.д.  

• Объяснение, что такое k1, k2 и т.д.  

• Формулировка теоремы: перестановку можно разложить в произведение n-c транспозиций.  

• Декремент перестановки: разность между количеством перемещаемых элементов и нетривиальных циклов.  

• Удобство цикленной записи: не нужно учитывать тривиальные циклы.  

• Пример расчета декремента: 6-3=3, что соответствует нечетной перестановке.  

• Удобство цикленной записи для определения четности перестановки.  

• Пример: перестановка из шести элементов, декремент равен 3.  

• Декремент позволяет определить знак перестановки без подсчета инверсий.  

• Декремент помогает проводить изоморфизмы между группами.  

• Важность изучения перестановок: красота свойств и удобство вычислений в компьютерной алгебре.  

• Декремент как наименьшее число транспозиций для разложения перестановки.  

• Декремент перестановки - это наименьшее число транспозиций, на которое можно разложить перестановку.  

• Рассмотрим тождественную перестановку, у которой декремент равен нулю.  

• Цель - понять, как меняется декремент при умножении на транспозицию.  

• Декремент не может быть меньше нуля.  

• Рассмотрим случай, когда транспозиция не меняет количество элементов в циклах.  

• Если транспозиция добавляет новый элемент, декремент увеличивается на единицу.  

• Если транспозиция меняет элементы, декремент также увеличивается на единицу.  

• Пример: транспозиция меняет элемент "и" на "жи", что добавляет новый цикл.  

• Количество циклов не меняется, но добавляется новый элемент, что увеличивает декремент.  

• Если транспозиция меняет два элемента, декремент также увеличивается на единицу.  

• Пример: транспозиция меняет элементы "и" и "жи", что добавляет новый цикл.  

• Количество циклов и перемещаемых элементов не меняется, что увеличивает декремент.  

• Обсуждается уменьшение количества циклов при транспозициях.  

• Рассматривается, как элементы переходят из одного цикла в другой.  

• Подчеркивается, что количество перемещаемых элементов не меняется.  

• Формулируется теорема Кэли: любая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы Sn.  

• Доказывается, что любая конечная группа порядка n имеет элемент порядка n-1.  

• Рассматривается преобразование, которое ставит в соответствие каждому элементу группы его произведение на этот элемент.  

• Преобразование, которое ставит в соответствие каждому элементу его произведение на элемент a, является биекцией.  

• Это преобразование можно рассматривать как перестановку элементов группы.  

• Обсуждается, что в конечной группе не может быть бесконечного числа элементов.  

• Рассматривается композиция преобразований, которая является произведением двух преобразований.  

• Подчеркивается, что композиция преобразований соответствует умножению на произведение элементов.  

• Обсуждается, что тождественное преобразование соответствует умножению на элемент a в минус первой степени.  

• Рассматриваются элементы группы, которые переставляют элементы.  

• Обсуждается изоморфизм между подгруппой и преобразованиями.  

• Преобразования называются объекциями на группе.  

• Изоморфизм определяется как гомоморфизм на объекциях.  

• Пример гомоморфизма между перестановками и группой из двух элементов.  

• Изоморфизм групп требует взаимно однозначного соответствия.  

• Изоморфные группы могут выглядеть по-разному, но иметь одинаковые свойства.  

• Пример группы симметрий треугольника и группы перестановок.  

• Все свойства, выразимые в терминах групповой операции, должны быть одинаковыми.  

• Преобразования соответствуют элементам группы.  

• Каждое преобразование является объекцией на конечном множестве.  

• Подгруппа всн содержит не все перестановки, а только некоторые из них.  

• Теорема Кэрри объясняет, как конечные группы могут быть вложены друг в друга.  

• Пример с табличкой Келли для группы сн минус один.  

• Группа сн может быть вложена в группу сн плюс один.