АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ | СЕМИНАР 7 | ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ 2

• Обсуждение темы с прямыми и плоскостями.  

• Переход к кривым второго порядка.  

• Введение в ПСК прямоугольную декартову систему координат.  

• Каноническое уравнение прямой на плоскости.  

• Преобразование уравнения в вид a_1x + b_1y + c = 0.  

• Определение направляющего вектора и вектора нормали.  

• Формула для расчета расстояния от точки до прямой.  

• Применение формулы для нахождения длины вектора нормали.  

• Пример с точкой, не лежащей на прямой.  

• Формула для расчета расстояния от точки до плоскости.  

• Применение формулы в ПСК.  

• Пример с точкой, не лежащей на плоскости.  

• Определение пучка прямых через одну точку.  

• Уравнение пучка прямых.  

• Пример с пучком плоскостей.  

• Задача на составление уравнения прямых.  

• Построение прямых через точки A, B и C.  

• Определение уравнения пучка прямых.  

• Расчет расстояний от точек B и C до прямой.  

• Преобразование уравнения для нахождения расстояний.  

• Приравнивание расстояний и упрощение выражений.  

• Приравнивание модулей знаменателей для нахождения равноудаленной прямой.  

• Решение уравнения с модулем и раскрытие его.  

• Получение двух решений и двух прямых.  

• Раскрытие модуля и подстановка значений.  

• Исправление ошибок и получение окончательного решения.  

• Подстановка полученного значения в уравнение.  

• Раскрытие модуля вторым способом.  

• Подстановка значений и получение второго решения.  

• Подстановка второго решения в уравнение.  

• Нахождение угла между направляющими векторами.  

• Использование скалярного произведения для определения угла.  

• Определение угла как прямого.  

• Нахождение уравнения биссектрисы между двумя прямыми.  

• Определение направляющих векторов и их длин.  

• Умножение векторов для получения одинаковых длин.  

• Решение системы для нахождения точки пересечения прямых.  

• Использование пучка прямых для нахождения направляющего вектора.  

• Умножение вектора на направляющий вектор для определения угла.  

• Умножение направляющего вектора на вектор Н.  

• Определение угла между направляющими векторами.  

• Проверка перпендикулярности прямых.  

• Умножение уравнения на коэффициенты.  

• Поиск симметричной прямой относительно оси.  

• Построение пучка прямых и нахождение расстояния до оси.  

• Построение биссекторной плоскости для двух плоскостей.  

• Вычисление направляющих векторов.  

• Уравнение биссекторной плоскости через направляющие векторы.  

• Проверка скрещиваемости прямых.  

• Вычисление направляющего вектора.  

• Уравнение общего перпендикуляра и нахождение расстояния между прямыми.  

• Рассматриваются прямые p1 и p2.  

• Для скрещивающихся прямых смешанное произведение векторов p2-p1 и a1, a2 не равно нулю.  

• Пример расчета смешанного произведения в прямоугольной системе координат.  

• Формула для расстояния между прямыми: p1-p2 на a1a2 разделить на модуль a1a2.  

• Пример расчета расстояния между прямыми.  

• Серединный перпендикуляр проходит через точки p1 и p2.  

• Направляющий вектор серединного перпендикуляра перпендикулярен векторам a1 и a2.  

• Задача сводится к нахождению координат точек p1 и p2.  

• Разность точек p2-p1 перпендикулярна векторам a1 и a2.  

• Система уравнений для нахождения координат точек p1 и p2.  

• Пример решения системы уравнений.  

• Введение в алгебраические кривые.  

• Кривые первого порядка: прямые.  

• Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола.  

• Траектории планет: эллипс.  

• Траектории комет: гипербола.  

• Древние греки знали о кривых второго порядка.  

• Координаты Декарта не позволяли строить эллипсы по точкам.  

• Рассматривались сечения конуса, которые давали различные кривые.  

• Окружность получается при ровном отрезании конуса, эллипс — при большем угле, парабола — при сильном отрезании, гипербола — при еще большем угле.  

• Эллипс описывается уравнением x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, где a > b и a > 0.  

• Для построения эллипса используются две точки и нитка, соединяющая их.  

• Фокусы эллипса имеют координаты -c0 и c0, где c — фокальный параметр.  

• Эксцентриситет эллипса — это отношение фокального параметра к большой полуоси.  

• Эксцентриситет влияет на вытянутость эллипса: чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.  

• Директрисы эллипса — это прямые, проходящие через фокусы и перпендикулярные большой оси.  

• Геометрическое место точек на эллипсе: сумма расстояний от точки до фокусов постоянна.  

• Эксцентриситет равен отношению расстояния от точки до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы.  

• Задание: сделать две дырки в тетради, продеть нитку и построить эллипс.