Матан - Производная обратной, сложной и параметрической функции | 12.12.23

• Производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении аргумента к точке.  

• Если этот предел конечен, то функция имеет конечную производную в данной точке.  

• Функция может иметь производную слева и справа в точке, но не иметь производной в этой точке.  

• Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.  

• Функция дифференцируема в точке, если ее превращение представимо в виде альфа от икс умножить на икс минус а, где альфа стремится к нулю при икс, стремящемся к а.  

• Дифференциал функции равен эф от икс минус эф от а, где эф от икс - производная функции в точке а.  

• Если функция дифференцируема в точке, то она имеет конечную производную в этой точке.  

• Обратно: если функция имеет конечную производную в точке, то она дифференцируема в этой точке.  

• Доказывается, что предел отношения при игрек стремящемся к б минус первый от игрек минус минус первый от б делить на игрек минус б равен один делить на ф штрих от а.  

• Это означает, что производная обратной функции равна один делить на ф штрих от а.  

• Доказывается, что производная сложной функции равна производной функции в точке т нулевое умноженной на производную функции в точке икс нулевое.  

• Это справедливо для функций, заданных параметрически.  

• Окружность: икс равно синус, игрек равно косинус, т из промежутка ноль пи.  

• Отрезок: икс равно тинус альфа умножить на т, а игрек равно косинус альфа умножить на т, т меняется на полуоси ноль плюс бесконечность.  

• Рассматриваются функции, заданные параметрически, и их производные.  

• Доказывается теорема о производной функции, заданной параметрически, при дополнительных условиях.  

• Примеры производных функций: константа, логарифм, экспонента, корень, синус, косинус, тангенс, котангенс, гиперболический синус, гиперболический косинус.  

• Вывод формул для производных тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.  

• Вывод формул для производных гиперболических функций: гиперболический синус, гиперболический косинус.  

• Рассматривается обратная функция, где икс - синус игрек, и выводится формула производной функции.  

• Обсуждается, что производная функции арксинуса равна 1/производная функции синуса.  

• Рассматривается обратная функция, где игрек - арктангенс икс, и выводится формула производной функции.  

• Рассматривается функция эф от икс, равная синус квадрат икс в кубе, и выводится формула для производной функции.  

• Рассматривается сложная функция, где аргумент является функцией, и выводится формула для производной функции в степени.  

• Обсуждается применение логарифмической производной для дифференцирования произведений большого числа со множителей.