28.02.2023 Лекция 8. Формулы Ньютона--Лейбница, интегрирования по частям и замены переменной. Валлис

• Объясняется, что у непрерывной функции существует первообразная, и что можно задать множество всех первообразных или неопределенный интеграл от этой функции.  

• Дается формула Ньютона-Лейбница, связывающая понятие первообразной и определенного интеграла.  

• Теорема обобщает формулу Ньютона-Лейбница, предполагая интегрируемость функции на отрезке и существование первообразной функции.  

• Доказывается теорема, используя равномерное разбиение отрезка и теорему Лагранжа о производной.  

• Приводится пример использования формулы для вычисления интеграла от функции икс-квадрат на отрезке от 0 до 1.  

• Обсуждается, что если функция интегрируема и имеет первообразную, то интеграл от функции на отрезке равен разности первообразной в конце и начале отрезка.  

• Вводится понятие обобщенной первообразной функции, которая может быть разрывной.  

• Если под интегральная функция разрывна, то формула Ньютона-Лейбница все равно может быть использована, если удается найти непрерывную первообразную.  

• Вводится понятие обобщенной первообразной, которая может быть непрерывной, но может нарушаться в конечном числе точек.  

• Пример: функция сигнум, которая имеет обобщенную первообразную, но не дифференцируема в точке 0.  

• Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], а ее обобщенная первообразная F(x) непрерывна на этом отрезке, то формула Ньютона-Лейбница остается справедливой.  

• В видео обсуждается неопределенный интеграл и его свойства.  

• Упоминается, что интеграл интегрируем по условию и непрерывность по верхнему и нижнему пределам.  

• Используется непрерывность для доказательства теоремы о пределе интеграла с переменным верхним пределом.  

• В видео объясняется формула интегрирования по частям и ее применение.  

• Упоминается, что интегрирование по частям - полезная вещь, и что интегрируемые функции должны быть дифференцируемыми и иметь интегрируемые производные.  

• Автор объясняет формулу Ньютона-Лейбница для интегрирования по частям.  

• Он использует эту формулу для вычисления интеграла от sin^2x dx.  

• Автор исследует интеграл sin^2x dx от 0 до π/2.  

• Он использует формулу Ньютона-Лейбница для вычисления этого интеграла.  

• Автор интегрирует по частям, используя синус в степени -1 и косинус.  

• Он получает уравнение, которое зависит от четности числа n.  

• В случае четного числа n, ответ будет равен π/2, а в случае нечетного числа n, ответ будет равен 1.  

• Вводится функция фи, которая осуществляет замену переменных на отрезке альфа-бета.  

• Функция фи должна быть дифференцируемой и интегрируемой на своем промежутке.  

• Формула замены переменной: эф от фи от т на фиштрих от тдт равно интегралу эф от икс д.  

• Рассматривается интеграл от корня из один минус икс-квадрат.  

• Предлагается использовать замену переменной, чтобы привести интеграл к более удобному виду.  

• Выбирается диапазон для переменной т, чтобы отобразить отрезок альфа-бета в отрезок ноль-один.  

• Площадь четверти круга радиуса один равна пина-четыре.  

• Площадь четверти круга может быть вычислена с помощью интеграла от нуля до одного.  

• Вспоминают формулу Валеса, которая позволяет представить число пи в виде предела рациональной дроби.  

• Записывают формулу, но не уверены в правильности.  

• Интегрируют цепочку неравенств, используя формулу синуса.  

• Получают неравенство, которое меньше или равно пи на два.  

• Устремляют эн к бесконечности, чтобы получить предел последовательности.  

• Получают, что предел левой части равен пи, а правой - пи.  

• По теореме о сжатом переменном, предел серединки равен пи.  

• Таким образом, число пи может быть представлено в виде предела последовательности рациональных чисел.