Лекция 10. Основная теорема арифметики

• Доказательство основной теоремы арифметики.  

• Характеристика факториальных колец.  

• Разложение на неприводимые элементы.  

• Существование неприводимых элементов в конечномерных кольцах.  

• Доказательство существования неприводимых делителей.  

• Построение цепочки идеалов, которая обрывается на неприводимом элементе.  

• Использование условий обрыва возрастающих цепочек главных идеалов.  

• Ослабление условий нотрости для доказательства.  

• Применение условий обрыва для характеризации факториальных колец.  

• Доказательство половины основной теоремы арифметики.  

• Разложение любого элемента в произведение неприводимых множителей.  

• Возможность фиксации представителей неприводимых элементов.  

• Единственность разложения с точностью до порядка и ассоциированности.  

• Уточнение, что единственность имеет смысл с точностью до порядка и ассоциированности.  

• Утверждение о существовании и единственности разложения любого ненулевого элемента на неприводимые множители.  

• Число шесть допускает представление два умножить на три и три умножить на два.  

• Эти представления считаются одинаковыми с точностью до порядка и ассоциированности.  

• Основная теорема арифметики утверждает, что в факториальном кольце любое неприводимое число просто.  

• Кольцо называется факториальным, если в нем выполняется основная теорема арифметики.  

• В области целостности, где существуют неприводимые элементы, кольцо факториально тогда и только тогда, когда любой неприводимый элемент прост.  

• Кольца главных идеалов удовлетворяют этому критерию.  

• Критерий факториальности утверждает, что любой неприводимый элемент в кольце прост.  

• Доказательство проводится индукцией по числу множителей в разложении элемента на неприводимые.  

• Если два разложения элемента на неприводимые совпадают, то элементы ассоциированы.  

• Кольцо многочленов от одной переменной над полем факториально.  

• Кольцо целых гауссовых чисел факториально.  

• Кольцо формальных степенных рядов над полем комплексных чисел факториально.  

• Кольцо функций на квадрике факториально.  

• Теорема Клейна-Нагата утверждает, что кольцо многочленов от n переменных с характеристикой, отличной от двух, факториально.  

• Пример факториального кольца: кольцо функций на сфере.  

• Пример не факториального кольца: кольцо функций на невырожденных матрицах.  

• Пример более жизненного кольца: кольцо функций на матрицах с определителем, равным нулю.  

• Числовые кольца редко факториальны.  

• Кольцо целых алгебраических чисел над полем K факториально тогда и только тогда, когда оно является кольцом главных идеалов.  

• Пример: кольцо целых алгебраических чисел над полем Q.  

• Пример кольца, где не выполняется основная теорема арифметики: кольцо Z от корня из минус пяти.  

• Открытие не факториальных колец стало важным достижением математики XIX века.  

• Пример факториального кольца: кольцо функций на сфере, факторизованное по степени.  

• Теорема Накато: кольцо факториально, если степени попарно взаимно просты.  

• Пример не факториального кольца: кольцо тригонометрических многочленов.  

• Теорема Пифагора: два разложения одной и той же вещи в произведении неприводимых.  

• Кольцо тригонометрических многочленов: многочлены Фурье.  

• Определение: многочлены, состоящие из выражений вида a0 + a1cos + a2sin + ... + an-1sin.  

• Степень многочлена: наибольший номер, при котором хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.  

• Степень произведения двух многочленов равна сумме степеней.  

• Доказательство: использование формул сложения тригонометрических функций.  

• Умножение на второй член с косинусом и синусом.  

• Важность коэффициентов при умножении.  

• Проверка равенства нулю при умножении комплексных чисел.  

• Проверка, что коэффициенты не равны нулю.  

• Умножение квадратов коэффициентов.  

• Проверка, что слагаемые не исчезают.  

• Многочлены степени один неприводимы.  

• Обратимые многочлены существуют только в степени один.  

• Многочлены степени ноль обратимы.  

• Теорема о факториальности.  

• Доказательство неприводимости косинуса и синуса.  

• Важность работы над кольцом многочленов над комплексными числами.  

• Выбор представителей в каждом классе ассоциированности.  

• Определение канонического разложения элемента.  

• Кратности и делимость простых чисел.  

• Конечное кольцо не может быть полем или областью целостности.  

• Принцип Дирихле и его формулировки.  

• Умножение на ненулевой элемент в конечном кольце.  

• Определение периодических показателей.  

• Сравнение чисел с одинаковыми простыми.  

• Утверждения о делимости и ассоциированности.  

• Определение наибольшего общего делителя.  

• Наименьшее общее кратное.  

• Периодические показатели и их связь с нормой.