Действительные числа. Свойства действительных чисел.

• Действительные числа включают натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа.  

• Натуральные числа обозначаются буквой N и возникают при счете однородных предметов.  

• Целые числа включают N, 0 и отрицательные целые числа.  

• Рациональные числа обозначаются буквой Q и могут быть представлены в виде несократимой дроби m/n.  

• Иррациональные числа обозначаются буквой I и не могут быть представлены в виде несократимой дроби.  

• Объединение рациональных и иррациональных чисел дает множество всех вещественных чисел.  

• Пример: сравнение 0.999... и 1.  

• Использование формулы для суммирования бесконечно убывающей геометрической прогрессии.  

• Правило: рациональное число может быть записано в виде периодической десятичной дроби.  

• Пример: запись числа 3.713... в виде рациональной дроби.  

• Алгоритм перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную.  

• Применение алгоритма для записи рационального числа из периодической десятичной дроби.  

• Иррациональные числа не могут быть представлены в виде дроби.  

• Пример: корень из двух как иррациональное число.  

• Доказательство от противного: корень из двух не может быть рациональным числом.  

• Свойства для сложения: коммутативность, ассоциативность, существование нуля и обратного элемента.  

• Свойства для умножения: коммутативность, ассоциативность, существование единицы и обратного элемента.  

• Связь сложения и умножения: дистрибутивность.  

• Упорядоченность: сравнение действительных чисел.  

• Непрерывность: множество действительных чисел является непрерывным и упорядоченным.  

• Определение действительных чисел: множество элементов, удовлетворяющих свойствам 1-5.  

• Натуральные числа не обладают свойствами из первого и четвертого пунктов.  

• Целые числа не обладают свойством из четвертого пункта.  

• Рациональные числа не обладают свойством непрерывности.  

• Комплексные числа не обладают свойством из четвертого пункта.  

• Действительные числа обладают всеми перечисленными свойствами.  

• Куст рациональных чисел не обладает свойством непрерывности.  

• Пусть а — все рациональные числа, квадрат которых меньше двух, а б — все числа с квадратом больше двух.  

• Нет рационального числа, квадрат которого равен двум, что нарушает свойство непрерывности.