Теория вероятностей #17: Гамма-распределение / экспоненциальное распределение/ распределение Эрланга

• Видео начинается с обзора основных типов распределений: дискретные и непрерывные.  

• Обсуждается важность носителя распределения, который может быть ограниченным, полу-бесконечным или бесконечным интервалом.  

• Видео объясняет, как распределение Пуассона может быть использовано для моделирования времени ожидания события.  

• Экспоненциальное распределение - это распределение с полу-бесконечным носителем, которое имеет единственный параметр - среднюю интенсивность событий за единицу времени.  

• Экспоненциальное распределение обладает свойством отсутствия памяти, что означает, что вероятность того, что случайная величина примет значение больше, чем другое значение, зависит только от расстояния во времени между этими значениями.  

• Математическое ожидание экспоненциального распределения равно 1/лямда, а дисперсия равна 1/лямда².  

• График плотности вероятности экспоненциального распределения плоский при малых значениях лямда и приближается к нулю при увеличении лямда.  

• Экспоненциальное распределение является дискретным компаньоном геометрического распределения.  

• Экспоненциальное распределение имеет свойство отсутствия памяти, известное как марковское свойство.  

• Пример использования экспоненциального распределения на основе данных о количестве осадков в Австралии.  

• Определение параметра лямда (среднее значение) и построение графика плотности распределения.  

• Рассмотрение распределения для времени ожидания k событий.  

• Определение вероятности того, что время ожидания будет больше t, и нахождение кумулятивной функции распределения.  

• Дифференцирование функции и нахождение плотности вероятности.  

• В видео обсуждается распределение Ирланда, которое является обобщением распределения Эрланга.  

• Оно имеет два параметра: интенсивность событий (лямда) и количество ожидаемых событий (к).  

• Плотность вероятности для этого распределения имеет вид: e^(-лямда*t)*лямда^k/k!.  

• Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения равны к/лямда и к/лямда^2 соответственно.  

• Гамма-функция - это функция, равная ка-1 факториалу для натуральных значений к.  

• Она используется в теории вероятностей, математической статистике, гидродинамике и вычислительной математике.  

• Гамма-распределение - это обобщение распределения Ирланда, в котором к заменено на вещественное число.  

• Плотность вероятности для гамма-распределения имеет вид: e^(-лямда*t)*лямда^k/гамма(k).  

• Математическое ожидание и дисперсия для гамма-распределения равны альфа*бета и альфа*бета^2 соответственно.  

• Гамма-функция вычисляется как интеграл от 0 до бесконечности от t в степени k минус 1 на e в степени минус t по dt.  

• Интегрирование проводится с использованием интегрирования по частям.  

• Гамма-функция в точке k равна k умножить на гамма-функцию в точке k-1.  

• Математическое ожидание случайной величины, имеющей гамма-распределение, равно бета умножить на альфа.  

• Дисперсия равна альфа умножить на альфа плюс один на бета в квадрате.  

• Производящая функция моментов равна единице, деленной на гамма в точке альфа умножить на бета в степени альфа.  

• Преобразование бета и альфа позволяет получить производящую функцию моментов в виде единицы, деленной на единице минус бета-z в степени альфа.  

• Автор объясняет, как найти распределение трат отдельных уникальных покупателей, используя данные из дата-сета.  

• Он использует функцию в пандосе для фильтрации значений и создания массива для значений трат отдельных покупателей.  

• Автор использует функцию из пакета сайпай для нахождения параметров гамма-распределения по данным трат отдельных покупателей.  

• Он сравнивает полученное приближение с экспоненциальным распределением и находит, что гамма-распределение лучше подходит для описания данных.  

• Гамма-распределение является гибким и может принимать разные формы, включая монотонно-убывающие и имеющие одну моду.  

• Оно также является частным случаем экспоненциального распределения и распределения Вейбула, которые часто используются для оценки времени ожидания.