Лекция 7, Полиномиальная интерполяция (1)

• Рассматривается полиномиальная интерполяция.  

• Основная задача: найти наилучшее приближение функции из класса более простых функций.  

• Вопросы: построение эффективного алгоритма и оценка ошибки приближения.  

• Приближение функции простой функцией позволяет решать задачу для простой функции точно.  

• Примеры: нахождение производной функции через многочлены и численное интегрирование.  

• Идея используется в численном решении дифференциальных уравнений.  

• Минимизационный подход: минимизация нормы отклонения функции.  

• Интерполяционный подход: функция принимает значения исходной функции в узлах.  

• Важность интерполяционного подхода для функций, заданных на дискретном множестве.  

• Линейное подпространство и базис.  

• Интерполяционные условия и линейная система.  

• Проблема обусловленности матрицы Вандермонда.  

• Формула Лагранжа для интерполяционного многочлена.  

• Многочлены Лагранжа принимают значения 0 или 1 в узлах.  

• Явная формула для многочленов Лагранжа и их вычисление.  

• Использование модуля для построения многочленов Лагранжа.  

• Построение графиков многочленов для различных узлов.  

• Многочлены могут вести себя непредсказуемо между узлами.  

• Рассматривается интерполяционный многочлен Лагранжа.  

• Формулируется теорема о погрешности интерполяции.  

• Ошибка интерполяции выражается через производную функции и многочлен Лагранжа.  

• Формула для погрешности интерполяции напоминает формулу остаточного члена Тейлора.  

• Многочлен Лагранжа играет роль многочлена Тейлора.  

• Доказывается утверждение о погрешности интерполяции.  

• Вводится вспомогательная функция для доказательства.  

• Функция имеет нули при значениях аргумента, соответствующих узлам интерполяции.  

• Доказывается, что первая производная функции имеет нули.  

• Первая производная функции имеет нули, что доказывает теорему.  

• Ошибка интерполяции выражается через производную и многочлен Лагранжа.  

• Утверждение доказано.  

• Вводится понятие разделенных разностей.  

• Определяются разделенные разности порядка ноль и один.  

• Рекуррентно вводятся разделенные разности произвольного порядка.  

• Доказывается лемма о разделенных разностях.  

• Лемма утверждает, что разделенная разность порядка к выражается через разделенные разности порядка к-1.  

• Доказательство проводится по индукции.  

• Значение разделенной разности не зависит от порядка узлов.  

• Ошибка интерполяции равна значению разделенной разности, умноженному на многочлен Лагранжа.  

• Доказывается это утверждение.  

• Вынесение множителя омега от икс.  

• Подстановка элементарных многочленов Лагранжа.  

• Сравнение двух форм для остаточного члена интерполяции.  

• Разделенная разность как производная в промежуточной точке.  

• Представление интерполяционного многочлена в форме Ньютона.  

• Аналогия с формулой Тейлора.  

• Представление многочлена эль н в виде суммы разделенных разностей.  

• Использование формулы для ошибки интерполяции.  

• Разделенная разность как константа.  

• Составление таблицы разделенных разностей.  

• Вычисление значений интерполяционного многочлена по форме Ньютона.  

• Связь различных представлений интерполяционного многочлена с выбором базиса.  

• Матрица Вандермонда и многочлены Лагранжа.  

• Нижнетреугольная матрица для формы Ньютона.  

• Оценка ошибки интерполяции.  

• Минимизация множителя в оценке ошибки.  

• Введение многочленов Чебышева для оптимизации узлов.  

• Многочлен Чебышева определяется рекуррентно как произведение многочлена степени n и 2 в степени n-1.  

• Корни многочлена Чебышева можно найти, приравняв косинус к нулю.  

• Многочлены Чебышева имеют минимальное отклонение от нуля среди многочленов степени не больше n.  

• Многочлены Чебышева принимают значения по модулю не больше единицы.  

• Выбор узлов интерполяции из нулей многочлена Чебышева минимизирует ошибку интерполяции.  

• Пример: построение графиков многочленов Чебышева и их узлов интерполяции.  

• Пример функции и построение графиков для равномерной сетки и сетки из нулей многочлена Чебышева.  

• Сравнение ошибок интерполяции для равномерной сетки и сетки из нулей многочлена Чебышева.  

• Многочлен Чебышева обеспечивает меньшую ошибку интерполяции.  

• Пример функции с особенностями в комплексной плоскости.  

• Сравнение интерполяционных многочленов для равномерной сетки и сетки из нулей многочлена Чебышева.  

• Многочлен Чебышева сходится к точной функции, в отличие от равномерной сетки.  

• Обзор интерполяционного подхода и его частного случая - интерполяции алгебраическими многочленами.  

• Формы Лагранжа-Ньютона для представления и вычисления интерполяционного многочлена.  

• Важность выбора узлов интерполяции для точности и сходимости интерполяционного процесса.