Лекция 1 | Алгебра | Константин Чепуркин | Лекториум

• Константин Михайлович Чепуркин представляет себя и объясняет, что будет вести алгебру.  

• Описывает технические аспекты: проектор, доступ к документу через Microsoft, и экспериментальная трансляция в Zoom.  

• Алгебра - старая наука, восходящая к аль-Харизме.  

• Изначально алгебра занималась решением уравнений, особенно полиномиальных.  

• Константин Михайлович планирует показать алгебру как науку о решении уравнений.  

• Рассматривается простое уравнение a = bx.  

• Обсуждаются случаи, когда b не равно нулю и когда a не равно нулю.  

• Подчеркивается важность определения, что такое a и b.  

• Рассматриваются два подхода: решение уравнений с целыми числами и с рациональными числами.  

• Первый подход приводит к теории делимости, второй - к современной алгебре.  

• Константин Михайлович начинает с теории делимости.  

• Объясняется, что уравнение a = bx имеет решение тогда и только тогда, когда a делится на b.  

• Вводится теорема о делении с остатком.  

• Теорема утверждает, что для любых целых чисел a и b существуют единственные целые числа k и r такие, что a = b + r.  

• Константин Михайлович предлагает доказать теорему о существовании двух целых чисел.  

• Начинается с доказательства единственности.  

• Рассматривается случай, когда существуют два экземпляра k и k'.  

• Доказывается, что если существуют два экземпляра k и k', то они равны.  

• Используются свойства целых чисел, такие как равенство модулей.  

• Делается вывод, что если k' не равно нулю, то k равно нулю.  

• Обсуждение равенства ку и ку штрих.  

• Упоминание модулей и их значений.  

• Проверка правильности выводов.  

• Обсуждение единственности.  

• Введение в доказательство существования.  

• Упоминание конспекта прошлого года и проекта на GitHub.  

• Важность доказательства по индукции для целых чисел.  

• Предположения о знаках а и б.  

• Введение в математическую индукцию.  

• Пример с натуральными числами и утверждениями.  

• Проверка первых утверждений вручную.  

• Доказательство импликации между утверждениями.  

• Утверждение о натуральных числах.  

• Предположения о неравенстве а и б.  

• Доказательство существования ку и р для подходящих а и б.  

• Проверка утверждения для а плюс один.  

• Модификация индукции для доказательства.  

• Проверка утверждения для единицы.  

• Проверка утверждения для б между нулем и единицей.  

• Доказательство, что из всех предыдущих утверждений следует последующее.  

• Проверка первого утверждения и переход к следующему.  

• Доказательство начинается с предположения, что все утверждения для меньших значений верны.  

• Для текущего значения нужно свести его к меньшему значению.  

• Рассматривается случай, когда а меньше или равно б.  

• Если а меньше б, то можно взять ку равным нулю и р равным б.  

• Если а равно б, то ку равно единице и р равно нулю.  

• Рассматривается ситуация, когда а больше либо равно б.  

• Если а больше б, то ку равно единице и р равно нулю.  

• Доказательство включает случаи, когда а больше б и а равно б.  

• Завершается доказательство для всех значений а больше б.  

• Доказательство показывает важность внимательности к крайним случаям.  

• Для программистов это важный навык, который помогает избегать ошибок.  

• Теорема доказана для четверти случаев.  

• Рассматривается уравнение с одной переменной, где одно число делится на другое с остатком.  

• Уравнение можно свести к проверке на делимость.  

• Множество всех решений уравнения можно описать через делимость на определенное число.  

• Множество всех решений уравнения совпадает с множеством чисел, кратных определенному числу д.  

• Доказывается, что множество всех решений уравнения равно множеству чисел, кратных д.  

• Доказательство включает проверку включения элементов в оба множества.  

• Рассматривается наименьшее положительное число, не лежащее в множестве.  

• Используется деление с остатком для доказательства.  

• Доказывается, что остаток не может быть равен нулю, что приводит к противоречию.  

• Обсуждается возможность замены деления с остатком на вычитание.  

• Упоминается, что в некоторых случаях д может быть равно нулю.  

• Вводится понятие наибольшего общего делителя НОД.  

• Объясняется, что НОД является общим делителем, который делит оба числа.  

• Доказывается, что НОД существует и является наибольшим общим делителем.  

• Приводится пример с числами 4 и 6, где НОД равен 2.  

• Доказывается, что НОД представим в виде линейной комбинации.  

• Вводится понятие линейного разложения НОД.  

• Обсуждается, что НОД обладает свойством линейной комбинации.  

• Вводится определение взаимно простых чисел.  

• Объясняется, что НОД равен единице, что означает отсутствие общих делителей.  

• Обсуждаются стандартные свойства взаимно простых чисел и их доказательства.  

• Если произведение двух взаимно простых чисел делится на третье число, то и множители делятся на третье число.  

• Доказательство: если произведение делится на одно число, то и множители делятся на это число.  

• Построение линейного разложения для наибольшего общего делителя НОД чисел а и б.  

• Использование линейного разложения для получения информации о НОД.  

• Уравнение разрешимо, если ц делится на НОД а и б.  

• Упрощение уравнения путем деления на НОД.  

• Решение задачи нахождения НОД одновременно с линейным разложением.  

• Использование теоремы о делении с остатком для нахождения НОД.  

• Доказательство равенства множеств для чисел вида а икс плюс б игрек и а минус б ку один на икс плюс б на игрек.  

• Включение элементов одного множества в другое.  

• Доказательство симметричности равенства множеств.  

• Включение элементов одного множества в другое и наоборот.  

• Взаимно простые числа а и б имеют наибольший общий делитель НОД.  

• НОД делится на все простые числа, входящие в произведение а и б.  

• Основная теорема арифметики может быть выведена из этого свойства.  

• Линейное разложение НОД можно вывести из основной теоремы арифметики.  

• Доказательство может быть сложным и включать противоречие.  

• Вопрос о представлении единицы в теореме.  

• Алгоритм Евклида используется для нахождения НОД.  

• Деление с остатком позволяет определить НОД.  

• Последовательность остатков убывает и в итоге приводит к нулю.  

• Нахождение линейного разложения НОД.  

• Все остатки лежат в множестве элементов вида а икс плюс б игрек.  

• Индуктивное рассуждение для нахождения икс и игрек.  

• Построение последовательности остатков и их линейное разложение.  

• Алгоритм позволяет вычислить икс и игрек для каждого остатка.  

• Реализация алгоритма на Python.  

• Домашнее задание будет даваться на практике.  

• Первая практика будет почти через неделю.  

• Обсудите алгоритм в деталях, посчитайте ручками, затем реализуйте домашнее задание.  

• Научились находить конкретное решение для конкретной правой части уравнения с двумя переменными первой степени.  

• Можно получить решение для произвольной правой части, умножив на цд.  

• Научились решать уравнения первой степени в целых числах от двух переменных.  

• Описали все решения, но это будет обсуждаться в следующий раз из-за ограниченного времени.