Определенный интеграл Римана. Суммы Дарбу. Предел интегральных сумм.

• Обсуждение интегрального исчисления и его связи с дифференциальным исчислением.  

• История создания интегрального исчисления Исааком Ньютоном.  

• Интегральное исчисление как результат спора.  

• Интеграл как способ суммирования функции.  

• Обобщение понятия суммы на функции, определенные на континууме точек.  

• Пример вычисления разности значений функции на отрезке.  

• Введение бессмысленных действий для упрощения вычислений.  

• Обозначение точек на отрезке и их добавление и вычитание.  

• Пример с функцией f(x) = x.  

• Упорядоченность точек на отрезке и независимость разности от способа разбиения.  

• Пример с четным числом слагаемых и их разбиением на пары.  

• Геометрическая интерпретация разности функции на отрезке.  

• Пример с функцией f(x) = x и геометрическая интерпретация разности.  

• Заключение о том, что интеграл можно рассматривать как обобщение суммы.  

• Обсуждение функции f(x) = x и её производной.  

• Рассуждения о производной и её свойствах.  

• Применение теоремы Лагранжа для оценки разности значений функции в соседних точках.  

• Построение графика функции f(x) = x.  

• Объяснение, как разность значений функции в соседних точках пропорциональна длине отрезка.  

• Применение теоремы Лагранжа для непрерывных и дифференцируемых функций.  

• Рассмотрение теоремы Лагранжа и её применение к функции f(x).  

• Построение формулы для суммы разностей значений функции.  

• Объяснение, как эта формула зависит от количества точек разбиения отрезка.  

• Построение графика производной функции f(x).  

• Объяснение, как сумма разностей значений функции приближает площадь под графиком.  

• Геометрическая интерпретация формулы для суммы разностей значений функции.  

• Объяснение, почему можно ввести понятие интеграла как площади под графиком функции.  

• Рассмотрение ошибки при разбиении отрезка на точки.  

• Заключение о том, что сумма разностей значений функции стремится к площади под графиком.  

• Разность между значениями функции на концах отрезка всегда имеет определенный вид.  

• Теорема Лагранжа помогает понять площадь под графиком функции.  

• Важно, чтобы функция приближалась к графику, чтобы площадь была осмысленной.  

• Функция должна быть непрерывной и дифференцируемой на отрезке.  

• Эти требования необходимы для приближения площади под графиком.  

• Если функция является первообразной для другой функции, то их производные связаны.  

• Первообразная функция позволяет вычислить площадь под графиком.  

• Рассматривается площадь под графиком функции на отрезке.  

• На каждом отрезке выбираются прямоугольники, приближающие площадь под графиком.  

• Прямоугольники строятся так, чтобы их площадь была минимальной.  

• Площадь под графиком вычисляется как сумма площадей всех прямоугольников.  

• Определяются супремум и инфимум площадей на каждом отрезке.  

• Сумма площадей всех прямоугольников дает верхнюю и нижнюю суммы.  

• Разбиение отрезка влияет на площадь под графиком.  

• Правильный выбор разбиения позволяет минимизировать разницу между площадями.  

• Последовательное разбиение отрезка позволяет оценить разницу между площадями.  

• Рассматривается разность между двумя функциями, зависящими от разбиения.  

• Если разность стремится к нулю, можно говорить о площади под графиком.  

• Правильный выбор разбиения позволяет минимизировать разность.  

• Если разность стремится к нулю при стремлении к бесконечности, функция имеет площадь.  

• Для определения площади под графиком необходимо ввести понятие интегрируемости.  

• Интегрируемость определяется через супремум нижних сумм и супремум верхних сумм.  

• Интеграл Дарбу определяется как сумма площадей прямоугольников, лежащих между осью x и графиком функции.  

• Внутренние прямоугольники имеют знак минус, внешние - знак плюс.  

• Отмеченные разбиения позволяют строить суммы Римана для функций.  

• Отмеченное разбиение состоит из множества точек на отрезке.  

• Сумма Римана для отмеченного разбиения аналогична площади под графиком.  

• Для интегрируемой функции существует число, которое является пределом суммы Римана.  

• Это число должно быть меньше epsilon для любого отмеченного разбиения с диаметром меньше delta.  

• Диаметр отмеченного разбиения - это максимальная разность между точками разбиения.  

• Диаметр разбиения - это максимальная длина отрезка, полученного при разбиении исходного отрезка.  

• Разбиение считается подробным, если его диаметр меньше заданной величины.  

• Важно понимать, что понятие "маленький" в математике отличается от бытового смысла.  

• Интеграл функции - это предел суммы площадей прямоугольников, построенных на разбиении.  

• Если для любого разбиения с диаметром меньше заданной величины разность между площадью верхнего и нижнего прямоугольника меньше заданной величины, то это число и будет интегралом функции.  

• Интеграл Римана определяется как предел суммы площадей прямоугольников, построенных на произвольном разбиении.  

• Интеграл Римана и интеграл по Дарбу совпадают для любой функции.  

• Доказывается, что интеграл Римана и интеграл по Дарбу совпадают для любой функции.  

• Пример с графиком функции и разбиением отрезка на прямоугольники помогает понять доказательство.  

• Доказательство основано на свойствах супремума и инфимума.  

• Интеграл Римана и интеграл по Дарбу эквивалентны и могут быть использованы для вычисления интеграла функции.  

• Рассматривается сумма горбов для разбиения на отрезки.  

• Доказывается, что верхняя сумма не может быть больше, чем нижняя сумма для любого разбиения.  

• Определяется понятие измельчения разбиения.  

• Доказывается, что измельчение разбиения не может уменьшить верхнюю сумму и увеличить нижнюю сумму.  

• Рассматривается пример с отрезками и их вкладом в верхнюю сумму.  

• Показывается, как измельчение разбиения увеличивает верхнюю сумму и не уменьшает нижнюю сумму.  

• Сравниваются супремумы функций на разных отрезках.  

• Доказывается, что супремум функции на большем множестве всегда больше или равен супремуму функции на меньшем множестве.  

• Объединяются два разбиения для сравнения их верхних и нижних сумм.  

• Доказывается, что верхняя сумма одного разбиения не превосходит нижнюю сумму другого разбиения.  

• Доказывается, что для любых двух разбиений нижняя сумма не превосходит верхнюю сумму.  

• Упоминается важность концов интеграла и фиксированных функций.  

• Для любого положительного числа существует дельта, такая что для любого разбиения диаметр меньше дельты, функция Римана на минус модуле меньше, чем у epsilon.  

• Функция suprema по всем разбиениям совпадает с функцией fil по всем разбиениям.  

• Функция sigma всегда лежит между sigma и sigma.  

• Значения функции в некоторой точке отрезка не превосходят infimum функции по отрезку и не меньше, чем supremum функции по отрезку.  

• Для любого разбиения с диаметром меньше дельты, разность между верхней и нижней суммой меньше epsilon.  

• Для каждого разбиения можно подобрать такое, что разность между функциями будет меньше epsilon.  

• Функция suprema всегда отрицательна, а функция fil неотрицательна.  

• Для всех достаточно подробных разбиений, разность между функциями меньше epsilon.  

• Для любого разбиения с диаметром меньше дельты, разность между функциями меньше epsilon.  

• Для любого разбиения с диаметром меньше дельты, можно подобрать такое, что разность между функциями будет меньше epsilon.  

• Некоторые утверждения доказываются позже, так как требуют дополнительных промежуточных утверждений.  

• Примеры функций, которые не интегрируются, обсуждаются позже.  

• Функция Дирихле не интегрируема, так как ее график невозможно нарисовать.  

• График функции Дирихле не может быть однозначно определен из-за того, что рациональные и иррациональные числа всюду плотно расположены на числовой прямой.  

• Функция Дирихле не интегрируема по определению, так как нижняя сумма и верхняя сумма не совпадают.  

• Для функции Дирихле, нижняя сумма и верхняя сумма не сходятся к одному значению.  

• Рассматривается разбиение отрезка [0, 1] на части с использованием supremum и infimum значений функции на этих частях.  

• На каждом отрезке будут точки, где функция равна нулю, так как рациональные точки плотны.  

• На каждом отрезке будет бесконечно много рациональных точек, поэтому все суммы будут равны нулю.  

• Функция Дирихле не интегрируема, так как на каждом отрезке есть точки, где функция равна единице.  

• Для любого разбиения отрезка [0, 1] supremum будет равен единице.  

• Функция Дирихле не имеет площади под графиком, так как она не интегрируема.  

• Функция должна быть ограничена, чтобы быть интегрируемой.  

• Если функция неограничена, то supremum или infimum на каждом отрезке будет бесконечным.  

• Это делает невозможным вычисление суммы для таких функций.  

• Изменение функции в конечном числе точек не влияет на значение интеграла.  

• Для интеграла Римана это верно, так как длина множества точек, где функция изменена, равна нулю.  

• Для интеграла Лебега это не всегда так, так как длина множества может быть ненулевой.  

• Рассматривается функция, тождественная нулю в конечном числе точек.  

• Интеграл от такой функции равен нулю, так как supremum и infimum на каждом отрезке равны нулю.  

• Это доказывает, что интеграл от функции, тождественной нулю, также равен нулю.  

• Проверка значения интеграла функции f от x на отрезке [a, b].  

• Использование разбиения отрезка на части для вычисления интеграла.  

• Пояснение, что на каждом отрезке разбиения функция принимает конечное число значений.  

• Рассмотрение случаев, когда функция принимает отрицательное значение.  

• Использование разбиений, чтобы исключить отрицательные значения.  

• Уменьшение длины отрезков, содержащих отрицательные значения, для приближения к нулю.  

• Аналогичные рассуждения для положительных значений функции.  

• Выключение точек с положительными значениями с помощью отдельных отрезков.  

• Уменьшение длины отрезков для приближения к нулю.  

• Объяснение важности правильной организации разбиения для вычисления интеграла.  

• Планы на следующий раз: доказательство лемм и интегралов, практические вебинары.  

• Призыв к участникам группы скидывать задачи для обсуждения и разбора на вебинарах.