✓ Введение в математический анализ. Множество действительных чисел | матан #001 | Борис Трушин

• Борис Трушин начинает серию занятий по матанализу.  

• Цель - объяснить множество действительных чисел, пределы, производные и интегралы.  

• Занятия будут полезны как для студентов, так и для школьников.  

• В школе часто не объясняют, почему работают те или иные математические правила.  

• Пример: раскрытие скобок для иррациональных чисел.  

• В начальной школе учителя могут объяснять правила, но для иррациональных чисел это не всегда понятно.  

• Школьная геометрия строга и понятна благодаря аксиомам.  

• В алгебре и арифметике все сложнее из-за невозможности дать сложные аксиомы в начальной школе.  

• Многие математические правила усваиваются на уровне здравого смысла.  

• В начальной школе учитель воспринимается как бог, и его слова принимаются на веру.  

• Многие математические правила усваиваются интуитивно и не подвергаются критическому анализу.  

• Пример: деление в столбик, которое часто не объясняется.  

• Множество действительных чисел определяется через операции сложения и умножения.  

• Вводится отношение порядка и аксиомы, которые не требуют доказательства.  

• Примеры аксиом: коммутативность сложения, ассоциативность сложения, существование нуля и противоположного числа.  

• Аксиомы умножения аналогичны аксиомам сложения.  

• Существуют элементы 1 и обратное число для любого числа, кроме нуля.  

• Связь сложения и умножения: a + b * c = a * c + b * c.  

• Перевернутая буква "а" означает "для любого".  

• Перевернутая буква "е" означает "существует".  

• Эти значки упрощают запись математических утверждений.  

• Для любых чисел а и б верно одно из соотношений: а < б, б < а или а = б.  

• Если а < б и б < с, то а < с.  

• Неравенство сохраняется при добавлении любого числа.  

• Если 0 < а и 0 < б, то 0 < а * б.  

• Вводится значок "меньше либо равно", а остальные значки определяются через него.  

• Если а < б и а ≠ б, то можно писать "а < б" или "б > а".  

• Если для любых элементов из множеств а и б верно а < б, то существует элемент, разделяющий их.  

• Это важно для множества действительных чисел.  

• Число ноль единственно.  

• Противоположное число к числу единственно.  

• Разность чисел существует и единственна.  

• Деление определяется как нахождение числа, на которое а умножается, чтобы получить б.  

• Результат деления единственен.  

• Умножение на ноль дает ноль.  

• Если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из них равно нулю.  

• Для любых двух чисел верно одно из соотношений: а < б, а = б или а > б.  

• Единичка больше нуля.  

• Если есть два нуля, то они равны друг другу.  

• Доказательство основано на аксиомах сложения и умножения.  

• Натуральные числа получаются путем последовательного сложения единицы.  

• Целые числа включают натуральные числа и ноль, а также их противоположные.  

• Рациональные числа получаются делением целого числа на натуральное.  

• Иррациональные числа - это действительные числа, исключая рациональные.