12.05.2021 Лекция 23. Признаки Вейерштрасса и Абеля--Дирихле равномерной сходимости ряда

• Обсуждается связь между равномерной сходимостью функциональных последовательностей и равномерной сходимостью рядов.  

• Признак Виерштрасса: если ряд из норм сходится, то функциональный ряд с общим членом фк от икс сходится равномерно на множестве д.  

• Примеры: ряд с общим членом икс в степени к абсолютно сходится при икс от минус одного до единицы, но не сходится равномерно.  

• Ряд минус единицы в степени к минус один делить на к сходится равномерно при икс больше единицы, но не абсолютно.  

• Признак Виерштрасса не универсален, так как не работает для абсолютно не сходящихся рядов.  

• В видео обсуждается признак кабеля Абеля-Дирихле, который является обобщением признака Абеля для рядов и признака Дирихле для равномерной сходимости.  

• Признак требует наличия двух функциональных последовательностей, которые должны быть монотонными и равномерно ограниченными.  

• Если эти условия выполнены, то ряд с общим членом fk(x) на интервале [1, ∞) равномерно сходится на множестве D.  

• В видео приводится пример доказательства признака кабеля Абеля-Дирихле с использованием преобразования Абеля.  

• Доказательство начинается с рассмотрения суммы от n до n+p, где n - натуральное число, а p - любое число.  

• Затем применяется формула суммирования по частям, чтобы получить выражение для суммы от 1 до n+p.  

• В итоге, получается выражение для суммы от 1 до n+p, которое затем используется для доказательства признака кабеля Абеля-Дирихле.  

• Автор обсуждает преобразование суммы, где слагаемые вне суммы не могут быть изменены.  

• Он также обсуждает, как сумма остается от н до н + п - 1.  

• Автор обсуждает, как оценить сумму, когда эн ограничено и равномерно идет к нулю.  

• Он использует это для оценки суммы модулей и произведения модулей.  

• Автор обсуждает, как доказать, что ряд с общим членом фк равномерно сходится на множестве д.  

• Он объясняет, что остаток ряда стремится к нулю равномерно на д.  

• Автор подставляет остаток ряда в равенство и показывает, что знаки меняются, но сумма остается прежней.  

• В итоге, остается сумма от н + 1 до н + п - 1, где рк от рк на жк минус жк + 1.  

• Автор объясняет, что для любого k и любого x, если все функции f(x) ограничены равномерно, то ряд сходится равномерно.  

• Он также объясняет, что если f(x) стремится к нулю, то ряд сходится равномерно.  

• Автор рассматривает пример применения признака кабеля дерехле к ряду косинусов.  

• Он объясняет, что если a больше единицы, то ряд сходится равномерно, но если a меняется в диапазоне от нуля до единицы, то ряд не сходится равномерно.  

• Автор обсуждает, что если отрезок содержит точки вида x = 2π, то признак кабеля дерехле неприменим.  

• Он также обсуждает, что если отрезок содержит точки, близкие к x = 2π, то признак кабеля дерехле также неприменим.  

• Автор доказывает равномерную сходимость ряда на любом отрезке, не содержащем точек вида два пика.  

• Он использует признак Дирихле и критерий Каши для обоснования равномерной сходимости.  

• Автор исследует точки вида два пика и расширяет отрезок до всего интервала.  

• Он использует критерий Каши для обоснования отсутствия равномерной сходимости.  

• Если а больше единицы, то ряд сходится равномерно на всем множестве вещественных чисел.  

• Если а от нуля до единицы, то ряд сходится равномерно лишь на промежутках, не содержащих точек вида два пика.  

• В точках вида два пика ряд сходится, но равномерной сходимости нет.  

• В видео обсуждается лемма о равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.  

• Если функциональная последовательность непрерывна на отрезке и равномерно сходится на интервале, то она также равномерно сходится на отрезке.  

• Это свойство также применимо к рядам с непрерывными общими членами, которые сходятся равномерно на интервале.  

• В видео обсуждаются свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов, включая перестановочность операций.  

• Если число слагаемых конечно, то можно вычислить предел суммы, производную суммы и интеграл от суммы.  

• Если ряд сходится равномерно, то все эти операции могут быть выполнены с перестановкой предельных переходов.