ТФКП, Николаенко С. С., 2 семинар, 09.09.2022

• Возведение в степень комплексных чисел, включая примеры и обсуждение многозначности функции.  

• Обсуждение логарифма и его связи с экспонентой.  

• Обсуждение парадокса, связанного с отрицательной единицей, и его решение.  

• Использование разных определений для объяснения парадокса.  

• Обсуждение необходимости уточнения обозначений для разных функций, связанных со степенями и экспонентами.  

• Предложение использовать разные обозначения для разных функций для избежания путаницы.  

• Определение комплексной производной функции, определенной в окрестности комплексного числа.  

• Условие Каширимана: функция дифференцируема в точке, если существуют конечные производные по двум направлениям и выполняются условия Каширимана.  

• Условия Каширимана: равенство частных производных по двум направлениям.  

• Геометрический смысл условий Каширимана: равенство производных по двум направлениям, что гарантирует существование единой производной по совокупности переменных.  

• Функция задана в вещественном виде.  

• Проверка условий Каширимана: функция дифференцируема на прямой x = -y.  

• Функция дифференцируема только в начале координат.  

• Обсуждаются условия Каширимана, которые характеризуют регулярность функции.  

• Переходят от переменных икс и игрек к переменным зет и зет сопряженным.  

• Записывают дифференциал функции через новые переменные.  

• Функция называется регулярной в точке, если она дифференцируема в каждой точке окрестности этой точки.  

• Регулярность функции связана с ее хорошими свойствами и отсутствием хаоса.  

• Рассматриваются примеры функций, которые являются регулярными в области.  

• Обсуждаются условия Каширимана для этих функций.  

• Обсуждение геометрического смысла комплексной производной, которая представляет собой композицию поворота и растяжения.  

• На плоскости зет и отображение ф, производная в точке зет-ноль равна произведению аргумента производной на модуль производной.  

• Если две кривые гамма-1 и гамма-2 под действием отображения ф переходят в другие кривые эф гамма-1 и эф гамма-2, то угол между ними сохраняется.  

• Это следствие из закона сохранения углов, который гласит, что если две кривые поворачиваются на один и тот же угол, то угол между ними сохраняется.  

• Модуль производной равен модулю дельта зет плюс бесконечно малая величина, умноженная на модуль дельта ф.  

• Это следует из равенства для производной, где модуль дельта ф стремится к модулю дельта зет.  

• Если функция у дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям Каширмана, то она является гармонической функцией в области.  

• Это означает, что оператор Лапласа функции у равен нулю, и функция у и в являются гармоническими функциями в области.  

• В области, где есть регулярная комплексная функция, ей соответствуют две гармонические функции, которые называются сопряженными.  

• Если у нас есть одна гармоническая функция, можно ли ей сопоставить комплексную функцию, которая будет сопряжена к ней?  

• Если у нас есть гармоническая функция, то можно восстановить сопряженную функцию, используя условие Каширимана.  

• Если производные в известны, то можно найти производные в, используя условия Каширимана.  

• Если гармоническая функция в односвязной области, то существует единственная с точностью до константы гармоническая функция, которая является сопряженной к данной функции.  

• Дана функция, которая является одной из двух гармонических функций.  

• Необходимо восстановить вторую функцию и найти ее в комплексной форме.  

• Решение задачи включает нахождение производной в и интегрирование формы.  

• Рассматривается функция комплексного аргумента и ее интеграл.  

• Для определения интеграла необходимо выделить кривую на плоскости и параметризовать ее.  

• Интеграл будет криволинейным и будет определяться по кривой.  

• Определяется криволинейный интеграл второго рода, который является вещественным интегралом.  

• Криволинейный интеграл первого рода - это интеграл по длине кривой, который обозначается как интеграл по натуральному параметру кривой.  

• Криволинейный интеграл первого рода может быть выражен через интеграл по отрезку, используя натуральный параметр кривой.  

• Формула для выражения интеграла по длине кривой через интеграл по отрезку.  

• Линейность и аддитивность интеграла относительно функций и кривых.  

• Если кривая является объединением двух кривых с согласованной ориентацией, то интеграл по кривой будет равен сумме соответствующих интегралов по каждой кривой.  

• Участники обсуждают определение кривой на комплексной плоскости.  

• Они обсуждают, что кривая - это окружность радиуса r с центром в точке на комплексной плоскости.  

• Участники обсуждают параметризацию кривой, используя путь и параметр t.  

• Они обсуждают, что параметр t должен быть постоянным, и что сначала нужно сдвинуться на точку a.  

• Участники обсуждают интегрирование экспоненты, которая дает ноль по полному обороту.  

• Они также обсуждают, что если n равно минус единице, то получается два пи, а в остальных случаях - ноль.  

• Участники обсуждают оценку интегралов, используя модуль функции.  

• Они обсуждают, что если функция непрерывна и кривая спрямляемая, то можно оценить модуль функции через максимум модуля функции на кривой.