Овчинников А. В. - Аналитическая геометрия - Геометрические объекты на плоскости и в пространстве

• Изучение прямых на плоскости и в пространстве.  

• Введение в уравнение прямой: y = kx + b.  

• Угловой коэффициент k и отрезок b.  

• Уравнение неудобно для геометрических задач.  

• Нарушена симметрия между переменными x и y.  

• Не подходит для описания прямых, параллельных оси ординат.  

• Прямая определяется точкой и вектором.  

• Точка называется опорной, вектор - направляющим.  

• Введение начала координат и радиус-вектора опорной точки.  

• Описание положения точки на прямой через радиус-вектор.  

• Векторное параметрическое уравнение: r = r0 + ta.  

• Применение уравнения для описания любой точки на прямой.  

• Уравнение применимо в пространстве и многомерном пространстве.  

• Связь с законом равномерного прямолинейного движения.  

• Геометрический смысл опорной точки и вектора скорости.  

• Разложение векторов по базису.  

• Запись координат векторов в виде столбцов.  

• Векторное параметрическое уравнение в координатах.  

• Исключение параметра t из уравнения.  

• Каноническое уравнение прямой.  

• Проблема деления на ноль в знаменателе.  

• Объяснение, почему деление на ноль невозможно.  

• Решение уравнения с делением на ноль.  

• Применение деления на ноль в геометрии.  

• Деление на ноль возможно, но результат неопределенен.  

• Пример: уравнение x - 2/3 = y - 5/0.  

• В параметрическом виде уравнение выглядит как x = 2 + 3t и y = 5 + 0t.  

• Каноническое уравнение происходит из параметрического.  

• Параметр t может принимать любые значения.  

• Дробь с нулем в знаменателе допустима, если числитель равен нулю.  

• Уравнение можно рассматривать как пропорцию.  

• Пример: 0x - 2 = 3y - 5.  

• Вывод: нули в знаменателе разрешаются, но требуют правильного подхода.  

• Каноническое уравнение прямой в пространстве: x - x0/a = y - y0/a = z - z0/a = t.  

• Прямая в пространстве задается системой уравнений.  

• Пример параметрического уравнения с матрицами.  

• Два столбца пропорциональны, если их определитель равен нулю.  

• В аналитической геометрии координаты записываются в строку.  

• Пример канонического уравнения прямой в аналитической геометрии.  

• Прямая задается опорной точкой и нормальным вектором.  

• Нормальный вектор перпендикулярен прямой.  

• Пример нормального уравнения прямой: r - r0 скалярное произведение на n = 0.  

• В ортонормированном базисе скалярное произведение вычисляется как сумма попарных произведений координат.  

• Пример уравнения в ортонормированном базисе: ax + by = d.  

• Нормальные уравнения в ортонормированном базисе отличаются от общих уравнений.  

• Уравнение прямой задается в виде ax + by = d.  

• Это уравнение не содержит информации о точке, через которую проходит прямая.  

• В случае неортонормированного базиса коэффициенты не имеют геометрического смысла.  

• Две прямые на плоскости могут совпадать, быть параллельными или пересекаться в одной точке.  

• Для определения расположения прямых используется метод Крамера.  

• Если определитель системы отличен от нуля, прямые пересекаются в одной точке.  

• Если определитель равен нулю, прямые пропорциональны и совпадают.  

• Если определитель не равен нулю, прямые параллельны.  

• Плоскость можно задать через три не коллинеарные точки.  

• Опорная точка обозначается m0, а две другие точки заменяются векторами a и b.  

• Векторы a и b должны быть линейно независимыми и не коллинеарными.  

• Уравнение плоскости можно получить, разложив вектор m0m по базису a и b.  

• Уравнение плоскости включает радиус-вектор опорной точки и векторы a и b.  

• Это уравнение позволяет найти координаты любой точки на плоскости.  

• Уравнение можно упростить, исключив параметры и получив каноническое уравнение.  

• Каноническое уравнение плоскости получается из определителя, составленного из координат векторов.  

• Уравнение включает координаты опорной точки и коэффициенты a, b и c.  

• Это уравнение можно записать в виде a x + b y + c z = d.  

• Общее уравнение плоскости включает координаты опорной точки и коэффициенты a, b и c.  

• Это уравнение позволяет определить опорную точку и коэффициенты.  

• В ортонормированном базисе коэффициенты a, b и c являются координатами вектора нормали.  

• Задача нахождения проекции и расстояния от точки до плоскости решается одинаково для планиметрического и стереометрического случаев.  

• На плоскости и в пространстве задачи решаются одинаково.  

• Рассматриваются задачи нахождения проекции симметричной точки и расстояния от точки до прямой.  

• Рассматривается прямая и её нормальный вектор.  

• Вводится понятие точки M1 с радиус-вектором R1.  

• Задача: найти точку P, симметричную точку C и расстояние от точки M1 до прямой.  

• Плоскость задается уравнением скалярного произведения.  

• Точка M1 с радиус-вектором R1.  

• Найти точку P и симметричную точку C.  

• Уравнения прямой и плоскости выглядят одинаково.  

• Процесс решения одинаков, но координатная запись отличается.  

• Вектор M1P обозначается как X.  

• Радиус-вектор точки P равен R1 + X.  

• Радиус-вектор точки C равен R1 + 2X.  

• Расстояние от точки M1 до прямой или плоскости равно длине вектора X.  

• Вектор X ортогонален вектору нормали.  

• Вектор X можно записать как R1 - R.  

• Скалярное произведение R1 - R на вектор нормали равно нулю.  

• Коэффициент лямбда равен минус дробь в знаменателе.  

• Вектор X равен лямбда N.  

• Радиус-векторы точек P и C выражаются через лямбда.  

• Расстояние от точки до плоскости равно длине вектора X.  

• Длина вектора X равна произведению длины вектора N на модуль лямбда.  

• Формула для расстояния в координатах.  

• Без модуля выражение принимает только неотрицательные значения.  

• Для точек на плоскости отклонение равно нулю.  

• Для точек в одной полуплоскости отклонение положительно, в другой - отрицательно.  

• Прямая задается направляющим вектором и опорной точкой.  

• Векторное параметрическое уравнение прямой.  

• Каноническое уравнение прямой в пространстве - система уравнений.  

• Система уравнений для прямой в пространстве.  

• Первое уравнение - уравнение плоскости без z-координаты.  

• Нормальный вектор плоскости не имеет z-координаты.  

• Вектор имеет координаты x, y, z, где z равно нулю.  

• Плоскость перпендикулярна вектору и параллельна оси z.  

• Прямая является пересечением двух плоскостей: одной параллельной оси z и другой параллельной оси x.  

• Важно решать задачи без наглядного представления.  

• Аналитическая геометрия позволяет делать выводы без изображений.  

• Измерение по картинке не нужно, достаточно сжатого изображения.  

• Уравнение прямой можно разбить на несколько уравнений плоскостей.  

• Это неудобно, поэтому лучше использовать параметрическое уравнение.  

• Пример задачи с каноническим и параметрическим уравнениями.  

• Дана плоскость и прямая, нужно проанализировать их взаимное расположение.  

• Возможные варианты: пересекаются, параллельны, лежат в одной плоскости.  

• Аналитическое решение для каждого случая.  

• Направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости должны быть ортогональны.  

• Прямая лежит в плоскости, если хотя бы одна точка прямой принадлежит плоскости.  

• Условие: скалярное произведение нормали на направляющий вектор равно нулю.  

• Прямая и плоскость параллельны, если первое уравнение выполняется, а второе нет.  

• Прямая не параллельна плоскости, если направляющий вектор не параллелен нормальному вектору плоскости.  

• Для нахождения точки пересечения нужно решить систему уравнений.  

• Переход от канонического уравнения прямой к параметрическому.  

• Уравнение плоскости остается без изменений, а уравнение прямой преобразуется в параметрическое.  

• Решение системы уравнений с четырьмя неизвестными.  

• Решение системы уравнений в векторной форме.  

• Уравнение плоскости: скалярное произведение вектора на нормальный вектор равно нулю.  

• Параметрическое уравнение прямой: вектор равен нулю плюс параметр.  

• Векторная техника облегчает решение задач.  

• Важно научиться работать с векторами для решения задач в аналитической геометрии и физике.