Алгебра и геометрия 4. Проекция и скалярное произведение векторов, матрица Грама, ориентация

• Определение проекции вектора на другой вектор.  

• Проекция вектора А на вектор B - это вектор, полученный опусканием перпендикуляра из точки А на вектор B.  

• Проекция обозначается как А штрих.  

• Проекция суммы векторов равна сумме проекций этих векторов.  

• Проекция вектора, умноженного на константу, также умножается на эту константу.  

• Эти свойства называются линейностью проекции.  

• Доказательство первого свойства проекции.  

• Проекция суммы векторов А1 и А2 равна сумме проекций этих векторов.  

• Проекция вектора А2 на вектор B равна сумме проекций векторов А1 и А2.  

• Доказательство второго свойства проекции.  

• Проекция вектора, умноженного на константу, равна произведению проекции вектора на константу.  

• Это свойство связано с линейностью проекции.  

• Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на длину вектора.  

• Это утверждение можно использовать для вывода формулы проекции.  

• Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.  

• Скалярное произведение симметрично относительно перестановки векторов.  

• Скалярное произведение линейно по первому аргументу.  

• Доказательство скалярного квадрата вектора.  

• Доказательство симметричности скалярного произведения.  

• Доказательство линейности скалярного произведения по первому аргументу.  

• Скалярное произведение обладает свойством линейности по каждому аргументу.  

• Это свойство будет использоваться в курсе.  

• Рекомендуется работать в ортонормированном базисе.  

• Ортонормированный базис означает, что векторы попарно ортогональны и их длины равны единице.  

• Вектор в ортонормированном базисе имеет координатный столбец, где координаты вычисляются как скалярное произведение на базисные векторы.  

• Скалярное произведение вектора на базисный вектор вычисляется как сумма произведений координат вектора на соответствующие базисные векторы.  

• Коэффициенты при базисных векторах равны нулю, если они ортогональны, и единице, если они совпадают.  

• Скалярное произведение двух векторов в ортонормированном базисе равно произведению их координатных столбцов, транспонированных друг к другу.  

• Доказательство использует линейность по обоим аргументам.  

• В ненормированном базисе скалярное произведение вычисляется через матрицу Грама.  

• Матрица Грама составляется из попарных скалярных произведений базисных векторов.  

• Матрица Грама симметрична и совпадает с транспонированной матрицей.  

• В ненормированном базисе скалярное произведение вычисляется как произведение транспонированных координатных столбцов, умноженных на матрицу Грама.  

• Доказательство формулы для скалярного произведения в ненормированном базисе использует свойства линейности и симметричности.  

• Формула позволяет вычислить скалярное произведение в любом базисе через матрицу Грама.  

• Скалярное произведение векторов A и B равно корню из суммы квадратов их координат.  

• Угол между векторами можно найти через косинус угла между ними.  

• В прямоугольной декартовой системе координат длина вектора AB равна корню из суммы квадратов разностей координат.  

• Матрица R называется ортогональной, если её транспонированная матрица равна единичной матрице.  

• Если базис F ортонормирован, то матрица перехода S между базисами F и E ортогональна.  

• Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе вычисляется как скалярное произведение их координатных столбцов.  

• Ориентация на плоскости определяется по направлению кратчайшего поворота одного вектора относительно другого.  

• Если поворот происходит против часовой стрелки, пара векторов ориентирована положительно, иначе отрицательно.  

• Если пара векторов ориентирована положительно, то и их противоположности также ориентированы положительно.  

• Ориентация в пространстве определяется по направлению кратчайшего поворота одного вектора относительно другого при взгляде из точки C.  

• Если поворот происходит против часовой стрелки, тройка векторов ориентирована положительно, иначе отрицательно.  

• Правая тройка векторов соответствует направлению, которое можно описать пальцами правой руки.