Многомерный анализ, интегралы и ряды 1. Дифференцируемая функция. Дифференциал. Градиент.

• В этом семестре будет изучаться дифференцируемость отображений в евклидовом пространстве.  

• В прошлом семестре была рассмотрена функция, отображающая метрические пространства в другие метрические пространства.  

• Функция называется дифференцируемой в точке, если существует линейное отображение из пространства в пространство, которое приближает функцию с точностью до бесконечно малого порядка по сравнению с нормой вектора.  

• Множество называется открытым, если для любой точки из этого множества найдется шар, который полностью входит в это множество.  

• Дифференцируемость функции означает наличие касательной плоскости, которая достаточно хорошо аппроксимирует график функции.  

• В этом семестре будет изучаться график отображения, который является геометрическим образом функции.  

• Градиент функции f(x, y, z) определяется как множество точек (x, y, z), где f(x, y, z) пробегает множество R+.  

• В трехмерном пространстве, градиент функции f(x, y, z) можно представить как вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции.  

• В трехмерном пространстве, градиент функции можно представить как вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции.  

• Дифференциал функции f(x, y, z) в точке (x, y, z) равен вектору, направленному в сторону наибольшего возрастания функции в этой точке.  

• Касательная плоскость к графику функции в точке (x, y, z) определяется как плоскость, проходящая через эту точку и имеющая нормальный вектор, равный градиенту функции в этой точке.  

• Касательная плоскость к графику функции в точке (x, y, z) также может быть определена как плоскость, проходящая через точку (x, y, z) и имеющая нормальный вектор, равный градиенту функции в этой точке, плюс вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции в этой точке.  

• В видео объясняется, что градиент и дифференциал функции в точке графика равны вектору, который является касательным к графику в этой точке.  

• Дифференциал функции - это приращение функции вдоль касательной плоскости.  

• Если функция дифференцируема в точке, то существует касательная плоскость к графику функции в этой точке.  

• Если функция дифференцируема, то ее приращение вдоль касательной плоскости бесконечно мало по сравнению с расстоянием между точками графика.  

• Для изучения необходимых условий дифференцируемости рекомендуется использовать учебник Иванова или книгу Макарова и Подкорытова "Гладкие отображения".  

• Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.  

• Если функция дифференцируема в точке, то ее дифференциал стремится к нулю при стремлении аргумента к этой точке.  

• Производные по направлению определяются как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю вдоль определенного направления.  

• Если функция дифференцируема в точке, то производная по любому направлению существует и равна скалярному произведению градиента на вектор направления.  

• Доказывается, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.  

• Пример функции, которая дифференцируема в точке, но разрывна, и поэтому не является дифференцируемой.  

• Второй геометрический смысл градиента: функция растет быстрее всего вдоль градиента.  

• Теорема: на сфере в рн минус один, максимум и минимум дфпд достигаются на направлениях, которые являются нормализованными градиентами.  

• Если градиент равен нулю, то максимум и минимум вырождаются.  

• В видео обсуждается модуль градиента функции и его связь с нормой градиента.  

• Упоминается, что градиент может быть равен нулю, что приводит к очевидным максимумам и минимумам функции.  

• Если градиент не равен нулю, то его можно разделить на норму градиента и записать в виде неравенства.  

• Вводится определение частной производной функции, которая является пределом отношения частной производной функции к частной производной аргумента.  

• Частная производная функции по координате в точке равна пределу отношения частной производной функции по этой координате к частной производной аргумента в точке.  

• Если частная производная не существует, то можно использовать вер с чертой.