Теорема о существовании фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений.

• Рассматривается система линейных однородных уравнений.  

• Система записывается в координатной форме.  

• Определяется понятие фундаментальной системы решений ФСР.  

• ФСР состоит из столбцов, каждый из которых является решением системы.  

• Количество столбцов равно числу неизвестных минус ранг матрицы системы.  

• Эти столбцы должны быть линейно независимы.  

• Теорема утверждает, что у однородной системы существует ФСР.  

• Доказывается, что если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то ФСР существует.  

• Если ранг матрицы системы равен р, то первые р столбцов линейно независимы.  

• Строки матрицы, начиная с р+1, являются линейной комбинацией первых р строк.  

• Уравнения, начиная с р+1, можно отбросить, так как они не добавляют новой информации.  

• Переносим слагаемые с р+1 вправо.  

• Переменные, оставшиеся слева, называются базисными, а справа - свободными.  

• Количество свободных переменных равно к = н - р.  

• При подстановке свободных переменных получаем числа, которые обозначаем как б.  

• Получаем неоднородную систему с квадратной невырожденной матрицей.  

• По теореме Крамера, система имеет единственное решение при любых правых частях.  

• При выборе произвольных свободных переменных получаем линейно независимые решения.  

• Для построения ФСР нужно доказать, что можно получить к линейно независимых решений.  

• Выбираются свободные переменные таким образом, чтобы получить линейно независимые решения.  

• Построены столбцы, которые нужно доказать линейно независимыми.  

• Составляется линейная комбинация столбцов и приравнивается к нулю.  

• Система столбцов линейно независима, если все коэффициенты лямбда равны нулю.  

• Подставляются столбцы вместо переменных в линейную комбинацию.  

• Для каждой строки проверяется равенство элементов.  

• Если все коэффициенты лямбда равны нулю, то столбцы линейно независимы.  

• Проверяются все строки, чтобы убедиться в равенстве нулю всех коэффициентов.  

• Если все коэффициенты лямбда равны нулю, то столбцы линейно независимы.  

• Это доказывает линейную независимость столбцов.  

• Доказано существование фундаментальной системы решений для однородной системы.  

• Фундаментальная система решений линейно независима и состоит из решений однородной системы.  

• Нормальная фундаментальная система решений выбирается таким образом, что одна из свободных переменных равна единице.  

• Для одной и той же системы можно построить разные фундаментальные системы решений.  

• Нормальная фундаментальная система решений всегда существует.  

• Пожелание успехов на экзамене.