Симплексы и симплициальные комплексы | Алгебраическая топология | Н.Дж. Уайлдбергер

• В двумерном векторном пространстве, если два вектора независимы, их можно записать в виде линейной комбинации.  

• Если коэффициенты линейной комбинации равны 0 или 1, а их сумма равна 1, то это описывает отрезок прямой между двумя точками.  

• В трехмерном пространстве, если взять четыре точки, они образуют тетраэдр, который можно описать аналогичной линейной комбинацией.  

• В n-мерном пространстве, n-мерный симплекс можно описать как выпуклую комбинацию n+1 векторов, где все коэффициенты находятся между 0 и 1, а их сумма равна 1.  

• В двумерном пространстве, симплекс - это отрезок прямой, в трехмерном - треугольник, в четырехмерном - тетраэдр.  

• Симплициальные комплексы - это пространства, созданные из симплексов разных размеров, которые не обязательно должны быть одного размера.  

• Симплексы могут пересекаться, но только на общей грани.  

• Видео обсуждает симплексы и их грани, показывая, как определить грани симплекса, используя подмножества вершин.  

• Грани нулевого измерения - это просто вершины симплекса.  

• Ориентация симплекса определяется направлением, в котором он ориентирован.  

• Ориентация может быть определена, начиная с определенной вершины и двигаясь в определенном направлении.  

• Граница симплекса определяется как набор одномерных симплексов, которые образуют границу.  

• Граница может быть записана как сумма одномерных симплексов, где каждый член суммы соответствует определенной вершине.  

• Ориентация тетраэдра определяется ориентацией любой из его граней.  

• Если известна ориентация одной грани, то можно определить ориентацию соседних граней.  

• Теорема гласит, что при двукратном прохождении границы, результат равен нулю.  

• Это фундаментальная формула алгебраической топологии.  

• Доказательство на примере трехмерного симплекса.  

• Граница симплекса равна сумме граней минус сумма граней минус сумма граней.  

• В результате получается ноль.