Средние в трапеции. Неравенства о средних.

• Обсуждение средних значений в трапеции.  

• Введение двух чисел a и b, где b больше a.  

• Интерпретация a и b как оснований трапеции.  

• Введение среднего арифметического a + b / 2.  

• Примеры использования среднего арифметического в арифметической прогрессии и средней скорости.  

• Взвешенное среднее и его применение в теории вероятности.  

• Введение среднего геометрического корня из a * b.  

• Применение среднего геометрического в геометрической прогрессии.  

• Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.  

• Линия, параллельная основаниям и равная среднему геометрическому, разбивает трапецию на две подобные.  

• Коэффициент подобия и его связь с площадями трапеций.  

• Применение в геометрии, например, в прямоугольном треугольнике.  

• Введение среднего гармонического 1 / a + 1 / b.  

• Связь с гармоническим рядом и его членами.  

• Пример вычисления среднего гармонического для двух чисел.  

• Доказательство неравенства между средним арифметическим, средним геометрическим и средним гармоническим.  

• Применение неравенства в трапеции для нахождения линии, параллельной основаниям.  

• Среднее гармоническое основание - это линия, проходящая параллельно основанию через точку пересечения диагоналей трапеции.  

• Для нахождения этой линии используется подобие треугольников.  

• Пример: высота верхней трапеции относится к высоте нижней трапеции как основание к высоте.  

• Среднее гармоническое трех чисел равно обратному среднему арифметическому обратных значений этих чисел.  

• Пример: теорема о радиусе вписанной окружности в треугольник.  

• Домашнее задание: доказать, что высоты могут быть проведены к стороне треугольника.  

• Среднее контргармоническое двух чисел равно удвоенному среднему арифметическому минус среднее гармоническое.  

• Пример: формула для среднего контргармонического и его связь с другими средними значениями.  

• Домашнее задание: доказать справедливость неравенств.  

• Среднее квадратичное двух чисел равно корню квадратному из суммы квадратов этих чисел, деленному на их сумму.  

• Пример: применение в технике и технике.  

• Домашнее задание: доказать, что среднее квадратичное делит трапецию на две равновеликие трапеции.  

• Доказательство равенства площадей верхней и нижней трапеций через подобие треугольников.  

• Пример: использование площадей вместо высот для упрощения вычислений.  

• Домашнее задание: найти длину линии, делящей трапецию на две равновеликие трапеции.  

• Разделение выражений на члены: единица плюс с к нулевому.  

• Перенос единиц и деление по членам.  

• Преобразование в квадраты и нахождение икс квадрат.  

• Умножение на б квадрат минус а квадрат.  

• Извлечение корня и получение среднего квадратичного числа.  

• Параллельная линия делит трапецию на две равные части.  

• Перемножение средних значений: а плюс б сокращается.  

• Извлечение корня из произведения дает среднее геометрическое.  

• Среднее геометрическое от среднего гармонического и среднего арифметического равно среднему геометрическому чисел а и б.  

• Упрощение выражений через взятие корня квадратного.  

• Среднее квадратичное убирает корни, оставляя только вторые степени.  

• Среднее квадратичное от среднего геометрического и среднего квадратичного равно среднему арифметическому.  

• Сложение равноудаленных значений: а квадрат плюс б квадрат плюс два а б делить на а плюс б.  

• Среднее арифметическое от среднего гармонического и среднего контргармонического равно среднему арифметическому чисел а и б.  

• Доказательства и неравенства оставлены для самостоятельной работы.