ЧМ-5. Численное интегрирование. Часть 1/2

• Задача численного интегрирования также называется задачей вычисления квадратур.  

• Рассматривается вычисление определенного интеграла от функции f от x на отрезке от a до b.  

• Цель - получить оценку интеграла с погрешностью не более epsilon.  

• Значение интеграла равно площади под графиком функции на отрезке.  

• Площадь криволинейной трапеции ограничена графиком функции и отрезком.  

• Перечисление групп методов численного интегрирования: элементарные методы, методы Ньютона-Катеса, методы Гаусса, стохастические методы, специализированные методы.  

• Использование геометрических примитивов для приближенного вычисления площади.  

• Метод левого прямоугольника: значение функции в левой точке умножается на длину интервала.  

• Метод центрального прямоугольника: значение функции в середине отрезка умножается на длину отрезка.  

• Использование нескольких равноудаленных точек для построения трапеции.  

• Метод трапеции: площадь трапеции приближает площадь под кривой.  

• Семейство методов Ньютона-Катеса основано на выборе равноудаленных точек и линейной комбинации значений функции.  

• Интегрирование - линейная операция, поэтому линейная комбинация значений функции - лучшее, что можно получить.  

• Для оценки точности методов используется разложение функции в ряд Тейлора и его обрывание.  

• Для оценки остаточного члена ряда Лагранжа нужно сохранить конечное количество слагаемых.  

• Остаточный член можно записать в разных формах, например, в форме Лагранжа.  

• Теория Лагранжа устанавливает существование точки кси, где равенство является точным.  

• Для метода левого прямоугольника центр разложения равен икс нулевое.  

• Интеграл распадается на две части: интеграл от икс нулевое и интеграл от ф штрих от кси.  

• Погрешность метода левого прямоугольника оценивается как модуль оставшегося интеграла.  

• Модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля производной функции.  

• Максимальное значение производной функции на отрезке используется для оценки погрешности.  

• Погрешность метода левого прямоугольника равна величине, не превосходящей максимальное значение производной.  

• Для метода центрального прямоугольника центр разложения берется в середину отрезка.  

• Первое слагаемое совпадает с приближенной формулой, второе слагаемое равно нулю.  

• Погрешность метода центрального прямоугольника оценивается как модуль интеграла от ф штрих от кси на икс минус средняя точка в квадрате.  

• Погрешности методов не являются малыми и не могут быть изменены.  

• Константы м-один и м-два могут не существовать, что ухудшает точность методов.  

• Нахождение производных и максимумов функций численно сложно и долго.  

• На интервале от а до б выбираются три равноотстоящие точки.  

• Значения функции в этих точках используются для построения квадратурной формулы.  

• Метод должен быть точным для полиномов высокого порядка, например, для параболы.  

• Точное значение интеграла равно б минус а.  

• Приближенная формула дает альфа умножить на один, бета умножить на один и гамма умножить на один.  

• Для полиномов нулевого порядка уравнение альфа плюс бета плюс гамма равно б минус а должно быть выполнено.  

• Интеграл полинома первого порядка равен нулю.  

• Формула дает альфа умножить на а минус а плюс б на два, бета умножается на ноль, гамма умножается на б минус а.  

• Уравнение альфа плюс гамма равно альфа минус гамма должно быть выполнено.  

• Интеграл полинома второго порядка равен б минус а в кубе.  

• Формула дает альфа умножить на а минус б в квадрате, бета умножается на ноль, гамма умножается на б минус а пополам в квадрате.  

• Уравнение альфа плюс гамма равно б минус а натрия должно быть выполнено.  

• Формула принимает вид: б минус а на шесть умножить на значение функции в точке а, учетверенное значение функции в средней точке и значение функции в точке б.  

• Средняя точка сильнее влияет на значение интеграла.  

• Формула точна для полиномов до третьего порядка включительно.  

• Оценка погрешности имеет вид: м четыре, максимальное значение модуля четвертой производной на б минус а в пятой степени.  

• Геометрический смысл метода: через три точки можно провести параболу.  

• Интеграл параболы берется аналитически.  

• Метод параболы является точным для полиномов до третьего порядка.  

• Методы Ньютона-Котеса включают метод параболы, метод трапеции и метод центрального прямоугольника.  

• При большом количестве точек полином может быть неточным.  

• Можно выбрать узлы не равноудаленными друг от друга.  

• Методы Гаусса позволяют вычислить значение функции в двух точках.  

• Узлы должны быть расположены симметрично, но не совпадать с концами отрезка.  

• Отрезок разбивается на равные части.  

• Длина каждого отрезка равна длине полного отрезка, деленной на количество отрезков.  

• Шаг интегрирования обозначается как аш.  

• Формулы Ньютона-Котеса содержат граничные значения, что делает их удобными для составных методов.  

• Методы Гаусса не включают граничные значения, поэтому их можно использовать на каждом отрезке.  

• Рассмотрим составной метод левых прямоугольников.  

• Приближенное значение по методу левых прямоугольников - это сумма значений функции на интервалах.  

• Формула левого прямоугольника проста: значение в левом узле умножается на ширину интервала.  

• Сумма значений функции в узлах и на концах интервала.  

• Метод правых прямоугольников аналогичен методу левых прямоугольников, но с противоположными значениями.  

• Сумма значений функции на правых концах интервала.  

• Метод трапеции: сумма значений функции на интервалах с весами.  

• Сумма значений функции на интервалах с равными весами.  

• Внутренние точки учитываются одинаково, концы - по-разному.  

• Метод трапеций учитывает обе границы с равными весами.  

• Оценка погрешности составного метода левых прямоугольников.  

• Оценка погрешности составного метода трапеций.  

• Оценка погрешности метода Симпсона.  

• Разбиение интервала на четное число интервалов.  

• Применение формулы парабол на каждом интервале.  

• Формула Симпсона точна для полиномов до третьего порядка.  

• Теоретические оценки полезны, но не всегда применимы на практике.  

• Принцип использования квадратурных формул на практике.  

• Если значение, полученное по квадратурной формуле с n узлами, отличается от значения с 2n узлами меньше заданной точности, можно предположить, что точное значение отличается от приближенного.  

• Если разница больше заданной точности, нужно увеличить количество узлов интегрирования.  

• Для составных методов, построенных по семейству методов Ньютона-Котеса, удвоение количества узлов является естественным.  

• Метод Рунге-Кутты позволяет повысить точность результата.  

• Разница между точным значением и приближенным, полученным по квадратурной формуле, равна константе, умноженной на шаг интегрирования в квадрате.  

• Для метода трапеции можно рассчитать интегральную сумму с двумя n узлами, что дает более точную оценку.  

• Задача вычисления определенного интеграла на отрезке решается с помощью статистических методов.  

• Метод Монте-Карло использует случайную величину для оценки характеристик интеграла.  

• Оценка по методу Монте-Карло: среднее арифметическое значение функции в случайных точках отрезка на величину самого отрезка интегрирования.  

• Метод Монте-Карло требует хороших случайных чисел для равномерного распределения.  

• Погрешность метода Монте-Карло имеет порядок единицы на корень из n, что делает его медленным для одномерных интегралов.  

• В многомерных случаях метод Монте-Карло остается точным, в отличие от детерминированных методов, которые требуют увеличения количества точек для повышения точности.  

• Методы Монте-Карло можно комбинировать с другими методами для построения составных методов.  

• Методы численного интегрирования можно использовать практически с любой функцией, не накладывая ограничений.  

• В будущем будет рассмотрено, как эти методы работают на реальных функциях.