Вектора из Ященко. Разбор ВСЕХ прототипов задания 2 из сборника ФИПИ

• Теория векторов важна для решения задач ЕГЭ.  

• План: скаляры, векторы, свободные векторы, длина вектора, умножение вектора на число, сложение и вычитание векторов, правила треугольника, параллелограмма и многоугольника, скалярное произведение и угол между векторами.  

• Скаляры - это числовые значения, например, заряд телефона или температура.  

• Векторы - это направленные отрезки, имеющие значение и направление.  

• Векторы часто используются в физике.  

• Свободный вектор - это вектор, начало и конец которого не закреплены.  

• В реальной жизни и физике важно, чтобы сила прикладывалась в нужное место.  

• В геометрии свободные векторы не привязаны к определенному месту.  

• Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых.  

• Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают, и противоположно направленными, если их направления противоположны.  

• Длина вектора - это расстояние между его началом и концом.  

• Для нахождения длины вектора можно использовать прямоугольный треугольник.  

• Произведение вектора на число - это вектор, длина которого равна произведению модуля вектора на число.  

• Векторы сонаправлены при положительном числе и противоположно направлены при отрицательном числе.  

• Единичный вектор - это вектор длиной 1.  

• Координатные векторы или орты - это векторы, лежащие вдоль осей координат.  

• Любой вектор можно разложить по координатным векторам.  

• Разложение вектора по базису определяется единственным образом.  

• Запись вектора в координатах означает его разложение по базису.  

• У точки А есть координаты Аx и Ay.  

• У точки Б тоже есть координаты Бx и Бy.  

• Для нахождения длины вектора используется теорема Пифагора.  

• Длина вектора AB равна сумме квадратов катетов.  

• Катеты находятся как разность координат точек.  

• Пример: AB = 5 - 1 = 4, AB = 5 - 2 = 3.  

• Возможны отрицательные значения координат.  

• Нулевой вектор обозначается как 0.  

• В ЕГЭ нулевые векторы не встречаются.  

• Правило треугольника: конец одного вектора сопоставляется с началом другого.  

• Правило параллелограмма: начало каждого вектора соединяется с концом следующего.  

• Правило многоугольника: начало каждого вектора соединяется с концом предыдущего.  

• Координаты вектора находятся как разность координат конца и начала.  

• Пример: AB = 5 - 1 = 4, AB = 5 - 2 = 3.  

• Вектор можно перенести в начало координат для проверки.  

• Умножение вектора на число k: каждая координата умножается на k.  

• Пример: 3 * A = 3 * 1 = 3, 3 * 2 = 6.  

• Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат.  

• Пример: A = 4, 3, длина вектора равна 5.  

• Сложение векторов: сложить соответствующие координаты.  

• Вычитание векторов: вычесть соответствующие координаты.  

• Пример: найти вектор C, используя векторы A и 2B.  

• Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.  

• Скалярное произведение обозначается как вектор умножить на вектор.  

• Скалярное произведение всегда является числом.  

• Векторное произведение векторов не используется в ЕГЭ по профильной математике.  

• Векторное произведение используется в физике и ведет себя как вектор.  

• В курсе физики векторное произведение связано с правилами правой и левой руки.  

• Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.  

• Теорему можно вывести и доказать, но это не имеет практической пользы.  

• Косинус угла между векторами можно найти, используя эту формулу.  

• На координатной плоскости изображены векторы a и b.  

• Нужно найти косинус угла между векторами.  

• Находим координаты векторов и вычисляем их длины.  

• Вычисляем скалярное произведение векторов.  

• Находим длины векторов a и b.  

• Подставляем значения в формулу для косинуса и получаем ответ.  

• Разбор теории завершен, переходим к практике.  

• Официальный сборник заданий ЕГЭ по профильной математике будет использоваться для решения задач.  

• В сборнике 36 вариантов, 18 прототипов и по два примера на каждый прототип.  

• Обсуждение покупки материалов на Ozon.  

• Призыв подписаться на телеграм-канал и страницу ВКонтакте.  

• Начало блока номер четыре, повторение теории.  

• Объяснение задачи на нахождение скалярного произведения векторов.  

• Умножение вектора на число и нахождение координат вектора.  

• Пример нахождения координат вектора и его скалярного произведения.  

• Объяснение понятия длины вектора и теоремы Пифагора.  

• Пример нахождения длины вектора и приведение к общему знаменателю.  

• Решение задачи и нахождение наименьшего значения координаты вектора.  

• Ответы на вопросы студентов о приведении к общему знаменателю и умножении вектора на число.  

• Обсуждение сложности умножения вектора на число и возведения в квадрат.  

• Переход к следующему примеру и завершение занятия.  

• Рассматриваются примеры сложения векторов на координатной плоскости.  

• Объясняется правило сложения векторов по правилу треугольника.  

• Приводится пример сложения нескольких векторов.  

• Графическое решение задачи сложения векторов.  

• Объясняется, как переносить векторы параллельно друг другу.  

• Приводится пример построения вектора по правилу сложения.  

• Нахождение длины вектора графически и аналитически.  

• Применение теоремы Пифагора для упрощения вычислений.  

• Объяснение разложения вектора по базису.  

• Обсуждение порядка сложения векторов.  

• Пример, почему важно строить векторы в определенном порядке.  

• Объяснение, почему графическое решение удобнее аналитического.  

• Аналитическое решение задачи сложения векторов.  

• Пример нахождения координат векторов.  

• Объяснение, почему аналитическое решение может быть долгим и скучным.  

• Объяснение нахождения скалярного произведения векторов.  

• Пример вычисления скалярного произведения векторов.  

• Указание на важность правильного черчения и вычислений.  

• Обсуждение графиков и стрелочек.  

• Пример с векторами а и б на координатной плоскости.  

• Нахождение косинуса угла альфа между векторами а и б.  

• Объяснение скалярного произведения векторов.  

• Формула для нахождения косинуса угла.  

• Упрощение вычислений через известные формулы.  

• Определение координат векторов а и б.  

• Использование координат для упрощения вычислений.  

• Пример с координатами вектора б.  

• Нахождение скалярного произведения векторов.  

• Вычисление длин векторов по теореме Пифагора.  

• Пример с вычислением длин векторов.  

• Обсуждение возможности не решать планиметрию и стереометрию.  

• Различие между вектором и его длиной.  

• Пример с вектором б и его длиной.  

• Пример с векторами а, б и ц.  

• Нахождение длины вектора а минус б плюс ц.  

• Использование метода нервиуса для нахождения длины вектора.  

• Объяснение ошибки в нахождении суммы длин векторов.  

• Пример с векторами и их длинами.  

• Важность правильного сложения векторов.  

• Объяснение направления вектора б.  

• Нахождение скалярного произведения а на б плюс ц.  

• Графическое нахождение суммы векторов б и ц.  

• Обсуждение числа мамонтов, пойманных на примере.  

• Разложение вектора по базису: координата по оси X минус семь, по оси Y ноль.  

• Определение скалярного произведения векторов.  

• Графическое определение вектора А: шесть клеточек влево, пять клеточек вверх.  

• Скалярное произведение векторов А и Д: сумма произведений соответствующих координат.  

• Объяснение, почему вектор Д имеет координату по оси Y ноль.  

• Обсуждение опечатки в сборнике.  

• Решение отдохнуть и обсуждение нового задания в ЕГЭ.  

• Объяснение способа быстрого нахождения координат вектора.  

• Нахождение вектора Д, суммы векторов А и Б.  

• Скалярное произведение вектора Д и вектора Ц.  

• Решение уравнения для нахождения координаты вектора Ц.  

• Определение векторов А, Б и Ц графически и аналитически.  

• Нахождение длины вектора А плюс Б минус Ц.  

• Использование формулы Пифагора для нахождения длины вектора.  

• Обсуждение ограниченного количества теорий векторов.  

• Возможные задания на экзамене и их структура.  

• Рекомендация сборника для подготовки к ЕГЭ.  

• Определение длины вектора А.  

• Нахождение длины вектора Ц через формулу.  

• Решение уравнения с двумя неизвестными.  

• Объяснение, что такое вектор и как его нарисовать.  

• Указание на сонаправленность векторов.  

• Обсуждение длины вектора и его углов.  

• Объяснение подобия прямоугольных треугольников.  

• Построение прямоугольного треугольника для вектора.  

• Установление отношений между длинами катетов.  

• Подстановка значений в уравнение.  

• Возведение в квадрат и решение уравнения.  

• Определение длины вектора по модулю.  

• Объяснение направления векторов.  

• Решение примера с векторами.  

• Переход к следующему примеру и обсуждение сложности.  

• Решение примера с векторами на координатной плоскости.  

• Нахождение скалярного произведения векторов.  

• Определение длины вектора.  

• Решение примера с координатами вектора.  

• Нахождение координат вектора.  

• Проверка ответов и исправление ошибок.  

• Обсуждение ошибок в скриптах и сборниках.  

• Упоминание о том, что даже в официальных сборниках бывают ошибки.  

• Определение косинуса угла как скалярного произведения векторов.  

• Исправление ошибок в вычислениях.  

• Вычисление длин векторов.  

• Преобразование выражения для косинуса угла.  

• Обсуждение необходимости модуля икс.  

• Рассмотрение двух случаев: икс больше и меньше нуля.  

• Преобразование уравнения для икс больше нуля.  

• Вычисление значения игрек.  

• Рассмотрение случая икс меньше нуля.  

• Вывод о невозможности решения и запись большего из возможных значений игрек.  

• Объяснение, почему справа был модуль икс.  

• Запись ответа: игрек равно двум.  

• Обсуждение задач, где нужно было раскрыть модуль с минусом.  

• Пример с косинусом и корнем из пяти.  

• Ошибки в решении задач и их последствия.  

• Проблемы с настройкой камеры.  

• Попытки исправить положение камеры.  

• Неудобства в работе с камерой.  

• Пример с векторами на координатной плоскости.  

• Нахождение скалярного произведения векторов.  

• Объяснение правил сложения векторов.  

• Нахождение косинуса угла между векторами.  

• Пример с вычислением скалярного произведения.  

• Проверка правильности решения.  

• Пример с нахождением длины вектора.  

• Вычисление длины вектора.  

• Проблемы с памятью и вычислениями.  

• Объяснение ортогональных векторов.  

• Пример с вычислением косинуса угла.  

• Завершение решения задач и подготовка к следующему занятию.  

• Обсуждение планов на будущее.  

• Проблемы с расписанием занятий.  

• Обещание придумать что-то интересное для следующего занятия.