Власов В. В. - Комплексный анализ (ТФКП) - Теоремы Вейерштрасса и единственности

• В видео обсуждается теорема Верштрасса, которая состоит из двух частей: первая часть утверждает, что если функциональный ряд сходится равномерно, то его сумма также будет аналитической функцией.  

• Вторая часть теоремы утверждает, что если ряд сходится равномерно и каждая его функция является аналитической, то и сумма ряда также будет аналитической.  

• Доказательство первой части теоремы начинается с рассмотрения точки z0 внутри круга, ограниченного радиусом r.  

• Затем автор переходит к рассмотрению разности между двумя интегральными выражениями и доказывает, что эта разность может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора достаточно большого n.  

• В итоге, автор приходит к выводу, что если ряд сходится равномерно, то его сумма будет аналитической функцией во всей области.  

• Теорема утверждает, что ряд можно почленно дифференцировать любое число раз и что он сходится равномерно на компактах.  

• Оценка разности между производными частичных сумм и суммы ряда выполняется для любого зет-нулевого из компакта.  

• Теорема утверждает, что две аналитические функции в области с ну, которые имеют предел, равный а, тождественны.  

• Рассматривается функция, аналитическая в области, и показывается, что она тождественно равна нулю в круге с центром в точке а.  

• Доказательство опирается на ряды Тейлора и аналитичность функции.  

• Показано, что функция тождественно равна нулю в круге с центром в точке а.  

• Второй шаг доказательства заключается в том, что функция тождественно равна нулю в любой точке круга с центром в точке а.  

• Доказывается, что функция, аналитическая в области, равна нулю в этой области.  

• Для этого покрывают область кругами, выбирают последовательность точек, где функция обращается в ноль, и показывают, что в центре каждого круга функция также равна нулю.  

• Доказывается равенство косинуса и синуса комплексного числа для любого комплексного числа.  

• Рассматривается связь между косинусом гиперболическим и синусом комплексного числа.  

• Получаются формулы для синуса и косинуса комплексного числа.  

• Теорема утверждает, что если функция аналитична в области, то она аналитична и в любой предельной точке этой области.  

• Однако, если функция не аналитична в точке, то она не может быть аналитична в любой предельной точке.  

• Если степенной ряд сходится в точке, отличной от нуля, то он сходится в круге радиуса, равного этой точке минус ноль.  

• Если функция аналитична в круге, то она может быть разложена в степенной ряд, который является рядом Тейлора этой функции.  

• Ряды Лорана отличаются от рядов Тейлора тем, что они также учитывают отрицательные степени.  

• Ряды Лорана используются для изучения функций, которые аналитичны везде, кроме особых точек.