22. Гауссовы числа

• Любое простое число, дающее остаток 1 при делении на 4, можно представить как сумму двух квадратов.  

• Это утверждение имеет множество доказательств, одно из которых использует гаусовы числа.  

• Гаусовы числа — это комплексные целые числа, которые можно представить в виде узлов решетки на плоскости.  

• Они образуют кольцо, где допустимы операции сложения, вычитания и умножения.  

• В гаусовых числах деление возможно не всегда, что делает их интересными для изучения.  

• Деление возможно на некоторые числа, такие как 1 и -1, и на константы, не равные нулю.  

• Норма числа а + би равна а^2 + b^2, что удобнее для вычислений.  

• Деление на числа с нормой 1 дает целые гаусовы числа, что образует группу поворотов.  

• Гаусово число а + би называется простым, если у него ровно восемь делителей.  

• Пример: число 2 в гаусовых числах не является простым, так как у него есть еще четыре делителя.  

• Если а^2 + b^2 — простое число, то а + би — гаусово простое число.  

• Это утверждение различает простые числа в целых числах и в гаусовых числах.  

• Число 1+i является простым гаусовым числом.  

• Число 2+i не является простым гаусовым числом, так как раскладывается на множители.  

• Доказательство: если число 1+i непростое, то оно раскладывается на множители, что противоречит его простоте.  

• Комплексное сопряжение является автоморфизмом поля комплексных чисел.  

• Произведение комплексных сопряженных чисел равно комплексному сопряжению третьего числа.  

• Норма числа не может быть простой, если оно раскладывается на множители.  

• Если норма числа простая, то само число простое.  

• Примеры простых чисел: 2+i, 3+i, 4+i, 3+2i.  

• Норма этих чисел оказывается простой, что делает их простыми гаусовыми числами.  

• Тройка является простым гаусовым числом, несмотря на непростую норму 9.  

• Утверждение: если число вида 4k+3 простое, то его гаусово число также простое.  

• Норма тройки непростая, но сама тройка остается простой.  

• В следующем ролике будет рассмотрено, почему это так.