Преобразования #11: введение в вейвлеты, вейвлет-преобразование Хаара

• Вейвлет-преобразование позволяет анализировать нестационарные сигналы.  

• Фурье-анализ показывает основную частоту и мелкие амплитуды, что затрудняет понимание структуры сигнала.  

• Вейвлет-преобразование сохраняет структуру сигнала благодаря локализации вейвлет-функций.  

• Вейвлет-функции локализованы как в пространстве, так и в частотной области.  

• Каждый коэффициент разложения описывает фрагмент сигнала, а все коэффициенты в сумме представляют сигнал целиком.  

• Вейвлет-преобразование отличается от Фурье-преобразования, где коэффициенты содержат всю временную структуру сигнала.  

• Вейвлет-преобразование Хара использует восемь вейвлет-функций.  

• Каждая пара отсчетов сигнала раскладывается по вейвлет-функциям, что позволяет получить коэффициенты разложения.  

• Коэффициенты представляют собой среднее значение и разность между средним значением и отсчетами.  

• Коэффициенты объединяются для получения более грубой версии сигнала.  

• Процесс повторяется для получения коэффициентов на более мелком масштабе.  

• В результате получается последовательность коэффициентов разложения, описывающая сигнал в базисе вейвлет-преобразования Хара.  

• Коэффициенты можно вычислить непосредственно из исходного вектора.  

• Первый базисный вектор вейвлет-преобразования Хара выглядит как единица на корень из восьми.  

• Остальные базисные векторы вычисляются на основе материнского вейвлета и масштабирующей функции.  

• Все вейвлет-векторы, кроме первого, можно получить из материнского вейвлета.  

• Масштабирующая функция образует векторы для вычисления коэффициентов.  

• Вейвлет-преобразование Хара описывается набором восьми вейвлет-ортогональных векторов.