✓ Векторы. Новая задача в ЕГЭ | Задание 2. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

• Борис Трушин рассказывает о векторах и их применении в математике и физике.  

• Введение новой задачи по векторам в ЕГЭ 2023 года.  

• Вектор определяется началом и концом, но разные направленные отрезки могут отображать один и тот же вектор.  

• Направленный отрезок и вектор — разные понятия, но часто используются как синонимы.  

• Скалярное произведение векторов — это произведение их длин на косинус угла между ними.  

• Угол между векторами — это угол между их начальными точками.  

• Нулевой вектор — это вектор, начало и конец которого совпадают.  

• Скалярное произведение с нулевым вектором равно нулю.  

• Скалярное произведение векторов — это произведение их длин на косинус угла между ними.  

• Скалярное произведение векторов симметрично: a * b = b * a.  

• Умножение вектора на сумму векторов: a * (b + c) = a * b + a * c.  

• Проекция вектора на прямую: b * cos(alpha) = длина проекции вектора b на прямую, содержащую вектор a.  

• Проекция вектора b на прямую, содержащую вектор a, равна длине проекции вектора b на эту прямую.  

• Проекция вектора c на прямую, содержащую вектор a, равна длине проекции вектора c на эту прямую.  

• Если a * kb = k * ab.  

• Если a * b + c * d = a * c + b * d.  

• Вектор задается парой чисел: координаты конца минус координаты начала.  

• Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов разностей координат конца и начала.  

• Сложение векторов: начало вектора b откладывается от конца вектора a.  

• Координаты суммы векторов: a1 + b1, a2 + b2.  

• Вектор можно выразить через его координаты и единичные векторы.  

• Пример: вектор a = a1 * e1 + a2 * e2, где a1 и a2 — координаты вектора, e1 и e2 — единичные векторы вдоль осей.  

• Скалярное произведение векторов a и b можно найти, раскрыв скобки и упростив выражения.  

• Пример: a1b1 * e1e1 + a1b2 * e1e2 + a2b1 * e2e1 + a2b2 * e2e2.  

• Скалярное произведение векторов a и b равно a1b1 + a2b2.  

• Пример: если a = 6, 8, b = 2, 5, то скалярное произведение равно 6 * 2 + 8 * 5 = 56.  

• Примеры задач: нахождение длины вектора, разности векторов, скалярного произведения векторов.  

• Пример: найти длину вектора a = 3, 4, b = 5, 6. Длина равна √(3² + 4²) = 5.  

• Пример: найти скалярное произведение векторов ab и ac в прямоугольном треугольнике.  

• Решение: ab * ac = |ab| * |ac| * cos(α), где α — угол между векторами.  

• Примеры задач на скалярное произведение с координатами векторов.  

• Пример: найти скалярное произведение векторов a = 5, 4, 1 и b = 3, 2, 1. Скалярное произведение равно 4 * 1 + 1 * 2 = 6.  

• Скалярное произведение векторов можно найти, зная их координаты на координатной плоскости.  

• Обратная задача: найти косинус угла между двумя векторами, зная их координаты.  

• Пример: найти косинус угла между векторами с координатами 3, 4 и 8, 6.  

• Решение: найти длины векторов и разделить их на скалярное произведение.  

• Ответ: косинус угла равен 0.96.  

• Если не нравится скалярное произведение, можно использовать теорему косинусов для нахождения косинуса угла.  

• Пример: найти косинус угла между векторами с координатами 3, 4 и 5, 2.  

• Решение: найти длины сторон треугольника и применить теорему косинусов.  

• Теорема косинусов и скалярное произведение — почти одно и то же.  

• Призыв к зрителям делиться своими мыслями и предложениями в комментариях.  

• Благодарность зрителям за поддержку и анонс будущих тем.