Критерий Коши. Предел функции по Коши и по Гейне | 7 | Константин Правдин | НОЦМ ИТМО

• В видео обсуждается критерий Каши для сходимости последовательности.  

• Рассматривается определение фундаментальной последовательности и доказывается необходимость и достаточность сходимости последовательности к пределу.  

• Доказывается необходимость сходимости последовательности к пределу через фундаментальность последовательности.  

• Доказывается достаточность сходимости последовательности к пределу через ограниченность и существование сходящейся подпоследовательности.  

• Если последовательность фундаментальна, то она ограничена и из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность.  

• Если последовательность сходится, то она фундаментальна.  

• Приводятся примеры использования критерия Каши для доказательства расходимости последовательности.  

• Показывается, что предел последовательности не равен ни одному конечному числу и стремится к бесконечности.  

• Рассматривается определение предела последовательности и его связь с фундаментальностью последовательности.  

• Доказывается, что если последовательность фундаментальна, то она сходится.  

• Рассматриваются примеры последовательности, у которых нет предела, и доказывается, что они не фундаментальны.  

• Показывается, что если последовательность не фундаментальна, то она не сходится и имеет предел плюс бесконечности.  

• Вводится определение предела функции по Каши и рассматриваются предельные точки.  

• Определяется предельная точка для множества и доказывается, что если множество имеет бесконечное количество элементов в окрестности точки, то эта точка является предельной.  

• Предельная точка - это точка, в окрестности которой содержится бесконечное количество элементов множества.  

• Предельная точка может не принадлежать множеству, но быть его точкой сгущения.  

• Предел функции в конечной точке - это число, к которому можно подойти сколь угодно близко по множеству, даже если точка не принадлежит множеству.  

• Для определения предела функции в конечной точке используется эпсилон-дельта определение.  

• Доказательство предела функции икс в квадрате минус четыре делить на икс минус два при икс, стремящемся к двойке, равно четырем.  

• Для доказательства используется эпсилон-дельта определение предела функции в конечной точке.  

• Рассматривается определение предела функции через последовательность, где для каждого номера n из последовательности значение функции должно быть близко к пределу.  

• Приводится пример с функцией, у которой предел равен 1.  

• Рассматривается определение предела через окрестность, где для любого эпсилона можно найти дельта, чтобы значение функции было близко к пределу.  

• Доказывается эквивалентность определений через последовательность и через окрестность.  

• Рассматривается определение предела через Гейне, где для любой последовательности, сходящейся к точке икс-ноликовой, значение функции должно сходиться к пределу.  

• Доказывается эквивалентность определения через Гейне и через окрестность.