Лекция 6. Производные высших порядков

• Обсуждение производных функций нескольких переменных.  

• Введение в частные производные и их значение.  

• Отсутствие единого понятия производной функции нескольких переменных.  

• Определение частной производной второго порядка.  

• Обозначения и порядок дифференцирования.  

• Понятие смешанной производной.  

• Пример функции двух переменных и вычисление производных.  

• Вычисление производных третьего порядка.  

• Закономерности в вычислении производных.  

• Пример функции, для которой порядок дифференцирования влияет на результат.  

• Определение функции и её поведение в точке ноль.  

• Вычисление смешанных производных и их различия.  

• Теорема о равенстве смешанных производных.  

• Условия для равенства смешанных производных.  

• Теорема Шварца и её условия.  

• Различие между дифференцируемостью и непрерывностью смешанных производных.  

• Доказательство первой теоремы.  

• Рассматривается теорема о том, что если частные производные первого порядка дифференцируемы в точке, то смешанные частные производные равны.  

• Доказательство будет основано на рассмотрении превращений функции.  

• Рассматривается разность второго порядка функции в точке x0, y0.  

• Функция группируется по парам слагаемых, чтобы показать, что второй аргумент одинаков.  

• Превращение функции рассматривается как функция одной переменной.  

• По теореме Лагранжа находится точка между y0 и y0+a, где разность второго порядка равна производной в этой точке.  

• Частная производная по y функции f равна производной функции g, зависящей только от y.  

• Разность второго порядка функции f равна частной производной по y в одной точке минус частная производная по y в другой точке.  

• Превращение функции f-штрих от y на x0+a на y0+a равно производной по x функции f.  

• Получаем производную второго порядка по y и x в точке x0, y0, умноженную на превращение переменной x.  

• Второе выражение в разности второго порядка отличается тем, что первый аргумент не получает превращение.  

• Вычитание первого выражения из второго приводит к смешанной производной по y и x в точке x0, y0.  

• Рассматривается та же разность второго порядка, но в обратном порядке.  

• Превращение функции f заменяется на производную функции f по x.  

• В итоге получаем смешанную производную по y и x, умноженную на a^2.  

• Пример функции x^2y^2 показывает, что частные производные являются многочленами.  

• Для хороших функций смешанные производные не зависят от порядка взятия производных, а зависят только от переменных.  

• В дифференциальных уравнениях нужно найти функцию, удовлетворяющую уравнению с производными.  

• Пример: уравнение в полных дифференциалах, где выражение при икс и игрек совпадает при дифференцировании.  

• Если смешанные производные совпадают, можно найти исходную функцию.  

• В комплексных числах действительная и мнимая части функции связаны с частными производными.  

• Логарифм для комплексных чисел тесно связан с арктангенсом.  

• Эти примеры могут быть полезны в теории функций комплексной переменной и дифференциальных уравнениях.  

• В матанализе обсуждаются частные производные и дифференцируемость функций.  

• Дифференциал первого порядка определяется как сумма частных производных, умноженных на приращения аргументов.  

• Дифференциал второго порядка равен сумме частных производных второго порядка, умноженных на приращения соответствующих аргументов.  

• При замене независимых переменных на функции, зависящие от других переменных, форма первого дифференциала не меняется.  

• Для дифференциалов старших порядков это утверждение не всегда верно.  

• Пример: дифференциал функции, зависящей от переменных, равен сумме частных производных, умноженных на дифференциалы этих переменных.  

• Дифференциал второго порядка функции включает двойную сумму частных производных второго порядка, умноженных на дифференциалы независимых переменных.  

• Если переменные зависимы, добавляется слагаемое, которое не равно нулю.  

• Пример: функция двух переменных, где переменные заменены на функции.  

• Пример функции: e^x*sin y, где x и y заменены на функции p и q.  

• Дифференциал первого порядка функции: частная производная функции по p и q, умноженная на дифференциалы p и q.  

• Пример показывает, что дифференциал первого порядка не меняется при замене переменных.  

• Дифференциал второго порядка включает частные производные второго порядка, умноженные на дифференциалы независимых переменных.  

• Пример: e^x*sin y, где x и y заменены на функции p и q.  

• Возникает неинвариантное слагаемое, которое не равно нулю при зависимых переменных.  

• Формула Тейлора для функции многих переменных.  

• Функция n раз дифференцируема, и для любой точки из окрестности точки x0 найдется точка t, такая что f от x = f от x0 + сумма частных производных порядка n, деленная на n! * d^n x.  

• Доказательство формулы Тейлора для функции одной переменной.  

• Сведение функции многих переменных к функции одной переменной.  

• Использование формулы Тейлора для функции одной переменной.  

• Применение теоремы о дифференцируемости сложных функций.  

• Теорема доказана.  

• Значение функции в точке x0 и значение в точке x1.  

• Выражения, написанные в формуле, являются производными соответствующего порядка функции по теореме о сложных функциях.  

• Частная производная по переменной т равна сумме частных производных функций по соответствующим переменным при т = 0.  

• Функция является сложной функцией, и дифференцирование по первому аргументу умножается на производную внутренней функции.  

• Для второй производной функция дифференцируется по каждой переменной, что приводит к сумме сумм.  

• Для n-й производной в точке т = 1 значение функции равно икс нулевое плюс тета на икс минус икс нулевое.  

• Формула Тейлора доказана, и для простоты ей придают естественный вид.  

• Дифференциал функции первого порядка включает переменные вращения и превращения.  

• Формула Тейлора записывается в более привычном виде с дифференциалами вместо производных.  

• Формула Тейлора в форме Лагранжа: эф от икс равно эф от икс нулевое плюс сумма дифференциалов k-го порядка в точке икс нулевое на k факториал.  

• Превращения учитываются при записи дифференциала.  

• При дополнительных условиях непрерывности частных производных n-го порядка формула Тейлора заменяется на значение в точке икс нулевое плюс что-то очень маленькое.  

• Формула Тейлора в форме Пиано является следствием формулы Тейлора в форме Лагранжа.  

• Условия непрерывности можно ослаблять, но это не нужно для дальнейших расчетов.  

• Значение функции в точке икс из окрестности точки икс нулевое равно значению функции в точке икс нулевое плюс сумма частных производных первого порядка на дельты икс каты.  

• Добавляется двойная сумма по всем частным производным второго порядка, умноженным на превращения соответствующих переменных.  

• Формула конечных превращений: ф от икс минус икс нулевое равно сумме частных производных некоторой средней точки.  

• Первая лекция завершена.