Занятие 2 Взаимное расположение прямых в пространстве Параллельность в пространстве

• Определение параллельных плоскостей: две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.  

• Доказательство признака параллельности плоскостей: если в одной плоскости находятся две пересекающиеся прямые, которые параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.  

• Задача: построить две плоскости, которые не пересекаются и параллельны друг другу.  

• Доказывается, что через точку, не лежащую в плоскости альфа, можно провести плоскость, параллельную плоскости альфа.  

• Доказывается, что построенная плоскость бета параллельна плоскости альфа.  

• Доказывается теорема о том, что линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.  

• Доказывается теорема о том, что если две параллельные плоскости пересекаются двумя параллельными прямыми, то отрезки этих прямых, заключенные между этими плоскостями, равны.  

• Доказывается, что если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.  

• Доказывается, что если две плоскости не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой.  

• Через точку, не лежащую в плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.  

• Доказать, что две скрещивающиеся прямые можно поместить в параллельной плоскости.  

• Решение: построить две плоскости, параллельные данным прямым, через точки на прямых.  

• В пространстве прямые могут быть висящими, то есть не иметь общих точек с другими прямыми.  

• Чтобы висящие прямые стали видимыми, их нужно заключить в параллельной плоскости.  

• В пространстве дано конечное число прямых, любые две из которых пересекаются.  

• Доказать, что либо все они лежат в одной плоскости, либо все проходят через одну точку.  

• Через пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.  

• Каждая из трех прямых имеет с этой плоскостью ровно две общие точки.  

• Если добавить еще одну прямую, она также должна лежать в плоскости.  

• Логически больше не остается случаев, кроме как через одну точку.  

• Параллельное проектирование - это процесс, при котором точка в пространстве проектируется на плоскость, проходящую через прямую, не лежащую в плоскости проекции.  

• Проекция точки на прямую определяется как точка пересечения прямой с плоскостью проекции.  

• Проекция прямой - прямая.  

• Проекция отрезка - отрезок.  

• Параллельные прямые проектируются в параллельные.  

• Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, сохраняется при проектировании.  

• Рассматриваются два случая: отрезки лежат на одной прямой и пересекаются или не пересекаются.  

• При параллельном переносе отрезки не сохраняются, но их можно отложить, выбрав направление.  

• Прямая в стереометрии - это неопределяемое понятие, мыслимое как множество точек.  

• Аксиомы прямой плоскости и пересечения плоскостей позволяют рассматривать прямую саму по себе в пространстве.  

• Обсуждение оснований геометрии со школьниками может вызвать противоречия и сложности.  

• Труды Евклида являются устаревшими с точки зрения современной математики, но они содержат важные шаги в построении аксиоматической теории.  

• В математике аксиомы принимаются без доказательства, их истинность или ложность не обсуждается.  

• Лобачевский предложил изменить аксиому параллельных, что привело к созданию геометрии Лобачевского.  

• Центральное проектирование - это отображение, при котором прямая, не проходящая через центр проектирования, переходит в прямую, а отрезок - в отрезок.  

• Изображение фигуры - это фигура, подобная параллельной проекции исходной фигуры на плоскость.  

• Изображение может быть удобным или неудобным, в зависимости от задачи.  

• Изображение куба может служить квадрат, что удобно в некоторых случаях.  

• Обсуждение изображения плоских фигур, таких как треугольник, параллелограмм и правильный шестиугольник.  

• Утверждение, что изображение любого треугольника может служить изображением другого треугольника.  

• Обсуждение свойств правильного шестиугольника, таких как параллельность сторон и равенство внутренних углов.  

• Построение изображения правильного шестиугольника с использованием свойств подобия и параллельного проектирования.  

• Обсуждение домашнего задания и важности его выполнения.  

• Рекомендация решать упражнения и решать содержательные задачи для глубокого понимания материала.