Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

• Рассматривается поверхность, заданная уравнением f от x, y, z = 0.  

• В точке M0 проводится касательная плоскость.  

• Нормальный вектор к плоскости в точке M0 имеет координаты df/dx, df/dy, df/dz.  

• Рассматривается точка M с координатами x, y, z.  

• Вектор M0M лежит в касательной плоскости.  

• Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.  

• Координаты вектора M0M: x - x0, y - y0, z - z0.  

• Уравнение касательной плоскости: df/dx * x - x0 + df/dy * y - y0 + df/dz * z - z0 = 0.  

• Уравнение поверхности: f от x, y, z = 0.  

• Перенос z в правую часть с противоположным знаком: f от x, y - z = 0.  

• Уравнение касательной плоскости: df/dx * x - x0 + df/dy * y - y0.  

• Нормаль к поверхности в точке M0 - это прямая, перпендикулярная касательной плоскости.  

• Нормальный вектор к плоскости коллинеарен вектору нормали.  

• Уравнение нормали: x - x0 * df/dx, y - y0 * df/dy, z - z0 * df/dz.  

• Поверхность задана уравнением z = f от x, y.  

• Нахождение частных производных df/dx и df/dy.  

• Уравнение касательной плоскости и нормали для первой задачи.  

• Уравнение касательной плоскости: z - z0 = df/dx * x - x0 + df/dy * y - y0.  

• Уравнение нормали: x - x0 / df/dx, y - y0 / df/dy, z - z0 / df/dz.  

• Уравнение касательной плоскости: z = 2x - 2.  

• Уравнение нормали: x - x0 / -1, y  

• Поверхность задана уравнением f от x, y, z = 0.  

• Находим частные производные функции f по x, y, z.  

• Применяем правила дифференцирования для нахождения производных.  

• Производная по x: 2x.  

• Производная по y: 2y.  

• Производная по z: 0.  

• Производная по x в точке A: 4.  

• Производная по y в точке A: 4.  

• Производная по z в точке A: -6.  

• Подставляем значения производных в уравнение касательной.  

• Приводим подобные слагаемые и получаем уравнение касательной.  

• Делим обе части уравнения на 2 для упрощения.  

• Подставляем значения производных в уравнение нормали.  

• Домножаем все части уравнения на 2 для упрощения.  

• Получаем уравнение нормали к заданной поверхности в точке A.