27 Арифметические операции над измеримыми функциями. Последовательности измеримых функций.

• Рассматриваются арифметические операции над измеримыми функциями.  

• Вводится понятие леммы.  

• Утверждается, что сумма, произведение и модуль измеримой функции также измеримы.  

• Доказывается, что множество точек, где одна функция строго меньше другой, измеримо.  

• Первое утверждение легко доказывается.  

• Второе утверждение требует доказательства измеримости множества для любого альфа.  

• Третье утверждение вытекает из формулы для рациональных чисел.  

• Утверждается, что сумма, разность и произведение измеримых функций также измеримы.  

• Если одна из функций не равна нулю, то их частное также измеримо.  

• Доказательство включает использование леммы и формулы для произведения функций.  

• Рассматриваются измеримые множества и последовательности измеримых функций.  

• Утверждается, что супремум и инфимум последовательности измеримых функций также измеримы.  

• Вводятся понятия верхнего и нижнего предела последовательности.  

• Вводятся два важных определения сходимости функций: почти всюду и по мере.  

• Утверждается, что измеримая последовательность функций, сходящаяся почти всюду, также измерима.  

• Определяется сходимость по мере и её связь с равномерной сходимостью.