Математический анализ - 1. Лекция №4 "Непрерывность функции и точки разрыва"

• Определение функции как правила, сопоставляющего каждой точке множества действительных чисел другое число.  

• Важность непрерывных функций в математическом анализе.  

• Понятие непрерывности и его связь с пределом функции.  

• Функция f x непрерывна в точке x 0 , если она определена в некоторой окрестности точки x 0  и предел функции при стремлении к x 0  равен значению функции в точке x 0 .  

• Предел функции при стремлении к x 0  может быть не определен, если функция не определена в точке x 0 .  

• Определение непрерывной функции через окрестность точки x 0 .  

• Определение непрерывности через окрестность значения функции в точке x 0 .  

• Функция отображает окрестность точки x 0  в окрестность значения функции в точке x 0 .  

• Предел функции в точке x 0  равен значению функции в этой точке.  

• Превращение аргумента и функции как разность между аргументом и значением функции в фиксированной точке.  

• Предел превращения функции при стремлении аргумента к нулю равен нулю.  

• Непрерывность функции в точке x 0  означает, что предел превращения функции равен нулю.  

• Функция непрерывна слева в точке x 0 , если предел функции при стремлении аргумента слева к x 0  равен значению функции в точке x 0 .  

• Функция непрерывна справа в точке x 0 , если предел функции при стремлении аргумента справа к x 0  равен значению функции в точке x 0 .  

• Односторонняя непрерывность позволяет функциям иметь разрывы внутри своей области.  

• Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой точке, кроме концов интервала.  

• Функция непрерывна на отрезке, если она непрерывна в каждой точке, включая концы, и имеет одностороннюю непрерывность в крайних точках.  

• Любая непрерывная на отрезке функция ограничена.  

• Доказательство: если функция не ограничена, существует точка, где модуль функции больше любого числа. Последовательность таких точек сходится к точке, где функция непрерывна, что противоречит предположению о неограниченности.  

• Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке свое минимальное и максимальное значение.  

• Доказательство: если функция не достигает максимального значения, можно построить новую функцию, которая будет неограниченной, что противоречит первой теореме Вейерштрасса.  

• Следовательно, функция достигает своего максимального значения в некоторой точке отрезка.  

• Для доказательства достижения минимального значения функции берется точная нижняя грань функции на отрезке.  

• Если точная нижняя грань достигается на отрезке, это означает, что она является минимальным значением функции.  

• Непрерывная функция - это функция, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги.  

• Пример: график, нарисованный без отрыва, является непрерывной функцией.  

• Карандаш и бумага не являются понятиями математического анализа, и все утверждения должны быть строго формализованы.  

• Теорема утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и имеет разные знаки на концах, то она принимает нулевое значение в одной из точек интервала.  

• Пример: если функция начинается с -2 и заканчивается на 10, то она должна пройти через 0.  

• Теорема может быть переформулирована для любой точки, не обязательно нуля.  

• Отрезок делится на две равные части, и если в центре значение функции равно нулю, теорема доказана.  

• Если значение не равно нулю, то в одной из половинок функция принимает разные знаки на концах.  

• Процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено значение функции, равное нулю.  

• Если функция не равна нулю в точке, то существует окрестность, где она также не равна нулю.  

• Это приводит к противоречию, так как на концах отрезков функция должна принимать разные знаки.  

• Метод деления отрезка пополам используется для численного решения уравнений.  

• Если функция непрерывна на отрезке и принимает разные значения на концах, то она принимает все промежуточные значения.  

• Пример: если функция принимает значения a и b на концах, то она принимает значение c в одной из точек интервала ab.  

• Для доказательства строится новая функция, которая также непрерывна на отрезке, и применяется предыдущая теорема.  

• Функция f может принимать значения разного знака на концах a и b.  

• Существует число c, при котором f большое ac равно нулю.  

• Это означает, что функция f маленькая c равна c большой.  

• Разрывные функции могут быть ступенчатыми, как функция signum.  

• Примеры: ракета с включением двигателей, мяч, ударяющийся о стену.  

• В экономике финансовые показатели могут быть разрывными.  

• Функция f x не является непрерывной в точке x0, если она определена в окрестности этой точки.  

• Разрывная функция может быть определена негативно через отсутствие непрерывности.  

• Существует классификация точек разрывов.  

• Функция f x имеет разрыв первого рода, если она разрывна в точке x0 и имеет конечные односторонние пределы.  

• Разница между односторонними пределами называется скачком функции.  

• Если скачок равен нулю, функция имеет устранимый разрыв.  

• Функция sin x/x имеет разрыв первого рода с нулевым скачком в точке x0.  

• Можно определить функцию так, чтобы она была непрерывной в точке x0.  

• Устранимые разрывы возникают из-за конструкции функции.  

• Функция f x имеет разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен плюс-минус бесконечности.  

• Пример: функция sin 1/x имеет разрыв второго рода в точке x0.  

• Функция ограничена, но график при приближении к нулю становится все более осциллирующим.  

• На этом пока все.  

• Спасибо за внимание.  

• До свидания.