Геометрия Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. а) Докажите

• Высота BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке AШ.  

• Докажите, что угол AAA1B1 равен углу AЦBБ.  

• Найдите BC, если AA1 равно 4, угол BAC равен 60 градусов.  

• Постройте высоту AA1BC.  

• Угол AAA1B1 равен углу BAA1B1, так как они вертикальные.  

• Треугольник AШBA1 прямоугольный, сумма острых углов равна 90 градусов.  

• Угол BAA1B1 равен 90 градусов минус угол AAA1B1, что равно углу AAA1B1.  

• Треугольник ABB1 прямоугольный, угол ABB1 равен 90 градусов минус 60 градусов, что равно 30 градусов.  

• Катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы, поэтому AB = 2AB1.  

• Треугольник ACC1 прямоугольный, угол ACC1 равен 90 градусов минус 60 градусов, что равно 30 градусов.  

• Катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы, поэтому AC = 2AC1.  

• Треугольники AЦБ и ABB1C1 подобны по двум сторонам и углу между ними.  

• Соответствующие стороны пропорциональны, поэтому BB1C1 относится к BC, как AB1 к AB.  

• Выразите BC через BB1C1 и AB.  

• BB1C1 = 2BB1C1.  

• Опишите окружность вокруг четырехугольника ABC1A1.  

• Центр окружности лежит на отрезке AA1, так как угол A1C1A1 прямой.  

• Используйте теорему синусов для нахождения BB1C1.  

• BB1C1 = AA1 * sin 60 градусов.  

• Подставьте значение BB1C1 в выражение для BC.  

• BC = 2 * BB1C1 = 2 * AA1 * sin 60 градусов = 4 * √3.  

• Ответ: BC = 4√3.