Панов Т.Е. - Теория гомологий - 10. Гомологии с коэффициентами и когомологии

• Обсуждение связи фундаментальной группы с первой группой гомологий.  

• Гомологии можно рассматривать с коэффициентами в других кольцах, что иногда оказывается полезным.  

• Определение тензорного произведения групп и его свойства.  

• Гомоморфизмы и их свойства.  

• Определение групп сингулярных цепей с коэффициентами в группе ж.  

• Определение группы н-мерных сингулярных цепей с коэффициентами в группе ж.  

• Определение цепных комплексов и их гомоморфизмов.  

• Граничный гомоморфизм и его свойства.  

• Гомологии и когомологии определяются как отображение из группы в ноль с коэффициентами в группе.  

• Гомоморфизм определяется как двойственный к граничному отображению.  

• Кограничный гомоморфизм определяется как отображение, которое двойственно граничному.  

• Он отображает ко-цепи с меньшим индексом в цепи с большим индексом.  

• Группы гомологий и когомологий определяются как ядро и образ граничного отображения.  

• Группы гомологий и когомологий с коэффициентами в группе называются сингулярными гомологиями и когомологиями.  

• Приведенные гомологии и когомологии определяются как окаймляющие гомоморфизмы, которые ставят в соответствие функции на цепях и коцепях.  

• Они называются приведенными к эгомологии и обозначаются как аш с волной от икс.  

• Гомологии и когомологии - это группы, которые описывают свойства топологических пространств.  

• Гомологии с коэффициентами в группе G - это группа гомологий с коэффициентами в G, а когомологии с коэффициентами в группе G - это группа когомологий с коэффициентами в G.  

• Гомоморфизм групп гомологий индуцирует гомоморфизм групп когомологий, но в другую сторону.  

• Если у нас есть пара топологических пространств, то мы можем определить относительные гомологии и когомологии.  

• Относительные гомологии - это группа гомологий пары, а относительные когомологии - это группа когомологий пары.  

• Для относительных гомологий и когомологий стрелки бьют в другую сторону, и отображение на уровне цепей также отличается.  

• Для пары топологических пространств существует точная последовательность групп гомологий и когомологий.  

• Для относительных гомологий и когомологий связывающий гомоморфизм повышает размерность на единицу.  

• Если пара топологических пространств является расслоением, то группу относительных гомологий можно свести к группе абсолютных гомологий.  

• В видео обсуждается прямое произведение и его применение в клеточных гомологиях.  

• Прямое произведение используется для доказательства того, что гомологии для несвязного объединения - это просто прямая сумма гомологий.  

• В видео также обсуждается, что когамологии для бесконечного несвязного объединения - это прямое произведение ко-цепей.  

• В видео обсуждаются клеточные гомологии и когамологии, которые можно определить с помощью коэффициентов или как гомологии пары.  

• В примере вещественного проективного пространства, гомологии и когамологии отличаются, так как коэффициенты меняются в зависимости от четности или нечетности размерности.  

• В видео рассматривается пример с вещественным проективным пространством, где гомологии и когамологии отличаются.  

• В этом примере, если применить функтор гомологий с коэффициентами в Z2, то все гомоморфизмы станут нулевыми, а если применить функтор когамологий с коэффициентами в Z2, то все гомоморфизмы станут ненулевыми.  

• В видео обсуждается связь между группами гомологий и когомологий с разными коэффициентами.  

• Для этого используется гомологическая алгебра и коэффициентные точные последовательности.  

• Гомологические бакштейны играют важную роль в теории и являются первым экологическим операциями.  

• Они определяют гоморфизмы между группами гомологий и когомологий с разными коэффициентами.