Поток Риччи и его приложения к топологии с 3 многообразиями | Джон У. Морган | Лекториум

• В топологии больше инвариантов, чем конструкций.  

• Поток Риччи - важная конструкция в метрической геометрии и топологии.  

• Поток Риччи помогает классифицировать топологические объекты.  

• Поток Риччи позволяет униформизировать римановы поверхности.  

• Введение в риманову метрику и кривизну Риччи.  

• Уравнение и его основные свойства.  

• Введение римановой метрики на поверхности.  

• Поток Риччи как метод поиска хорошей метрики.  

• Риманова метрика и почти сложная структура.  

• Почти сложная структура интегрируется в сложную структуру.  

• Сигма становится сложной кривой.  

• Классификация односвязных комплексных поверхностей.  

• Сигма как частное от s2, c или единичного диска.  

• Фундаментальная группа и симметрии.  

• Метрики постоянной кривизны.  

• Введение уравнения в частных производных для метрик.  

• Три возможности: сингулярность, плоская метрика, гиперболическая метрика.  

• Сохранение конформной структуры.  

• Уравнение введено в 1982 году.  

• Применение уравнения в топологии и физике.  

• Сравнение с уравнением теплопроводности.  

• Уравнение теплопроводности тесно связано с уравнением теплопроводности.  

• Это нелинейная тензорная версия уравнения теплопроводности.  

• Уравнение было изобретено Гудом, Кирби и Риманом.  

• Недавно вышла книга о теореме Римана.  

• Уравнение во втором измерении упрощает уравнение Гамильтона-Фридмана.  

• В более высоких измерениях используется тензор кривизны Римана.  

• Рассматривается гладкое многообразие и векторное поле.  

• Определяется параллельный перевод векторов вдоль кривой.  

• Проекция перпендикулярно на касательное пространство.  

• Ковариантная производная позволяет различать семейства кривых и векторов.  

• Ковариантная производная зависит от метрики многообразия.  

• Основные свойства: линейность по функциям и метрическая связь.  

• Условие отсутствия кручения связывает ковариантное дифференцирование с метрикой.  

• Ковариантная производная удовлетворяет четырем свойствам.  

• Теорема утверждает существование единственной ковариантной производной.  

• Тензор кривизны Римана обобщает кривизну Гаусса.  

• Он является четырехмерным тензором и симметричным многочленом.  

• Обобщает гауссову кривизну в двух плоскостных направлениях.  

• Тензор кривизны Римана не подходит для дифференциального уравнения.  

• Метрика в локальных координатах является симметричным двухтензором.  

• Уравнение с румынской кривизной имеет неправильную тензорную структуру.  

• Гауссова кривизна поверхности связана с площадью.  

• Формула для гауссовой кривизны сравнивает площадь шара с евклидовой площадью.  

• Румынский тензор кривизны измеряет расхождения площади в разных направлениях.  

• Кривизна Риччи измеряет полную площадь n-мерного шара.  

• Кривизна Риччи определяется как симметричный тензор.  

• Формула связывает кривизну Риччи с объемом метрики.  

• Уравнение потока Риччи связывает изменение метрики с кривизной Риччи.  

• В локальных координатах уравнение выглядит как уравнение теплопроводности для тензоров.  

• Уравнение инвариантно относительно действия группы диффеоморфизмов.  

• Решения уравнения зависят от начальной метрики и топологии многообразия.  

• В случае многообразий Эйнштейна решение существует вечно или имеет конечную временную сингулярность.  

• В гиперболическом случае решение существует вечно, увеличивая метрику с течением времени.  

• Принцип максимума помогает контролировать геометрические величины.  

• Перлман использовал этот принцип для контроля областей с высокой кривизной.  

• Уравнения потока Риччи и скалярной кривизны имеют схожие мотивы, но разные подходы.  

• Поток Риччи сглаживает метрику на коллекторе, делая её более гладкой и однородной.  

• В случае с поверхностью, неровности сглаживаются, и метрика становится однородной.  

• Теоремы показывают, что метрика становится однородной в конечном итоге.  

• Многообразие называется однородным, если его группа изометрий транзитивно действует на него.  

• Все точки однородного многообразия выглядят одинаково.  

• В двух измерениях однородными являются сферы и гиперболические плоскости.  

• Локально однородные многообразия имеют универсальное покрытие, которое является однородным.  

• Примеры: двумерная сфера, торы, гиперболические пространства.  

• Не все трехмерные многообразия имеют локально однородные метрики.  

• Связная сумма трех многообразий не имеет локально однородной метрики.  

• Аналогично, связная сумма двух торов также не имеет локально однородной метрики.  

• Каждое трехмерное многообразие можно разбить на конечное число простых частей.  

• Если трехмерное многообразие является простым, то оно имеет локально однородную метрику.  

• Гипотеза геометризации утверждает, что фундаментальная группа каждого тора инъективна.  

• Если трехмерное многообразие гомотопически эквивалентно сфере, оно имеет локально однородную метрику.  

• Поток Риччи может производить однородные метрики в третьем измерении.  

• Перлман доказал, что поток Риччи производит геометрическую декомпозицию.  

• Поток Риччи становится сингулярным за конечное время, но Перлман контролирует природу сингулярностей.  

• Сингулярности могут быть длинной тонкой шейкой или шаром из трех частей.  

• Положительная кривизна может быть в третьем или втором измерении.  

• В случае положительной кривизны в третьем измерении все компоненты исчезают.  

• В случае положительной кривизны во втором измерении происходит "защемление шеи".  

• Отрезаем часть и вставляем стандартный шарик.  

• Выбрасываем компоненты с круглой метрикой.  

• Выполняем разложение суммы по связям для топологических изменений.  

• Многообразие распадается на две части: с неизменным объемом и с уменьшающимся объемом.  

• Объем не сжимается при tgt, что соответствует гиперболической метрике.  

• Объем сжимается, что приводит к тор-подобным структурам.  

• Многообразие разлагается вдоль двух торов, что позволяет понять топологию.  

• Гринман ввел функционал энтропии для анализа потока Риччи.  

• Энтропия не является достаточной функцией для анализа хирургического вмешательства.  

• Гринман предложил локальную версию энтропии, которая является оригинальным вкладом.  

• Гринман определил длину как интеграл скалярной кривизны и производной касательного вектора.  

• Длина ведет себя как энергия, но имеет квадратный корень из времени.  

• Вычисления с использованием коэффициента перед вторым слагаемым.  

• Минимизация на всех путях для доказательства существования.  

• Контроль кривизны и радиуса приема в центральной точке.  

• Параболическое уравнение позволяет контролировать производные.  

• Контроль кривизны и ее производных.  

• Контроль радиуса приема для предотвращения самопоражения карты Гаусса.  

• Параболическое уравнение обеспечивает контроль над производными.  

• Контроль кривизны и радиуса приема.  

• Локальная версия энтропии для доказательства геометрических утверждений.  

• Применение принципа максимума для анализа функции.  

• Интегрирование локальной функции для получения энтропийного функционала.  

• Важность длины l и уменьшенной длины.  

• Интегрирование e в минус l для контроля объема.  

• Доказательство существования конечного числа сингулярностей.  

• Гиперболическая конвергенция и конечное число операций.  

• Апостериорное доказательство от Ричарда Баумлера.  

• Возможность сглаживания сингулярностей.  

• Слабое решение с помощью сингулярностей.  

• Ограничение хирургических процессов и сходимость.  

• Доказательство гипотезы Пуанкаре для простых трехмерных многообразий.  

• Применение геометризации Терстона к простым многообразиям.  

• Разложение многообразия на торы и однородная метрика.  

• Однородная геометрия и компактное универсальное покрытие.  

• Единственная трехмерная сфера с компактной универсальной оболочкой.  

• Применение теории групп для доказательства гипотезы Пуанкаре.