Гауссовы числа. Лекция в 179 школе

• Лектор рассказывает о своем опыте преподавания в 179-й школе и о том, как его сын заканчивает 11-й класс.  

• Основная тема лекции - гасовые числа и их влияние на математику.  

• Лектор объясняет, что такое основная теорема арифметики и как она связана с числами.  

• Лектор решает уравнение в целых числах и объясняет, когда квадратная единица меньше куба.  

• Рассматривается задача Пифагора в тройках и различные методы ее решения.  

• Обсуждается представление чисел в виде суммы двух квадратов и простые числа.  

• Лектор упоминает рождественскую теорему Ферма и задачу Р Сша о равных расстояниях.  

• Задача Р Сша остается нерешенной, но лектор считает, что вероятность ее решения составляет около 5%.  

• Лектор делится своим опытом решения задачи о несчетных совершенных числах.  

• Лектор рассматривает уравнение, связанное с криптовалютами, и объясняет его важность.  

• Уравнение лежит в основе функционирования криптовалют и их алгоритмов.  

• Лектор объясняет, как ввести новые числа и тригонометрическую окружность.  

• Новые числа позволяют разложить сумму квадратов на множители.  

• Лектор подчеркивает важность новых чисел для решения задач в целых числах.  

• Лектор обсуждает операции сложения, вычитания и умножения новых чисел.  

• Деление новых чисел может быть выполнено не всегда, что приводит к теории делимости.  

• Лектор показывает, как складывать новые числа с обычными целыми числами.  

• Лектор завершает лекцию, объясняя, как складывать новые числа и как они связаны с точками на плоскости.  

• Лектор предлагает упражнения для закрепления материала.  

• Сложение комплексных чисел производится покомпонентно, аналогично векторному сложению.  

• Вычитание осуществляется путем изменения знака перед вычитаемым числом.  

• Умножение комплексных чисел производится по принципу раскрытия скобок и использования формулы для квадрата.  

• Делимость комплексных чисел определяется аналогично делимости целых чисел.  

• Число делится на другое, если существует число, которое при умножении на делитель дает делимое.  

• Множество делителей и общих делителей комплексных чисел аналогично множеству делителей целых чисел.  

• Комплексное число называется простым, если у него ровно восемь делителей.  

• Любое комплексное число делится на один, минус один, минус и, а плюс б, а плюс б умножить на и, а плюс б умножить на минус один, а плюс б умножить на минус и.  

• Эти четыре числа называются ассоциированными числами.  

• Любое комплексное число имеет три ассоциированных числа, кроме нуля.  

• Умножение на и поворачивает плоскость на 90 градусов.  

• Ассоциированные числа делятся на любое комплексное число, включая единицу.  

• Простое комплексное число имеет ровно восемь делителей.  

• Основная теорема арифметики утверждает, что любое комплексное число можно разложить на множители.  

• Процесс разложения на множители в комплексных числах аналогичен процессу в целых числах, но с уменьшением модуля.  

• Разложение числа единственно с точностью до знака.  

• Пример: альфа плюс бета равно ц-один плюс д-один.  

• Взаимно-однозначное соответствие между разложениями.  

• Основная теорема жизни утверждает, что любое разложение числа можно представить как сумму множителей плюс-минус один.  

• Взаимно-однозначное соответствие между числами и их разложениями.  

• Основная теорема верна с точностью до знака.  

• Кольцо — это система чисел с операциями сложения, вычитания, умножения и правилами раскрытия скобок.  

• В вузовской математике термины могут перевыучивать.  

• Примеры: рациональные числа и коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность.  

• В кольцах с основными свойствами целых чисел можно определить наибольший общий делитель НОД.  

• НОД может быть многозначным и представляться в виде линейного выражения.  

• НОД всегда можно представить через элементы кольца.  

• Число два имеет двенадцать делителей.  

• Орбита числа два включает все возможные комбинации знаков.  

• Число два является простым, так как его норма длины равна единице.  

• В кольце Гаусса число с минимальной нормой длины всегда простое.  

• Число один плюс является простым, так как его норма длины равна единице.  

• Определение простых и непростых чисел требует дальнейшего изучения.  

• Половина времени решения уравнений с помощью гауссовых чисел и других систем уходит на вылавливание обратимых чисел.  

• Основная теорема арифметики формулируется с точностью до обратимых чисел.  

• В системе чисел, помогающей решить уравнение Ферма, есть естественное понятие нормы.  

• Обратимых чисел бесконечно много, и нужно придумывать фокусы для работы с ними.  

• Доказательство основной теоремы арифметики при равно пяти требует кропотливой работы с обратимыми числами.  

• Пример: полный квадрат минус шестнадцати.  

• Число пять имеет не менее двенадцати делителей.  

• Пять можно представить как сумму квадратов, что делает его непростым числом.  

• Пример: пять можно разложить на два числа с нормой больше единицы.  

• Простые числа в гауссовых числах не всегда просты в целых числах.  

• Пример: число семь остается простым в гауссовых числах, несмотря на наличие восьми делителей.  

• Простые числа в гауссовых числах могут быть представлены как произведение двух чисел с нормой больше единицы.  

• Сопряжение комплексных чисел меняет знак при умножении на сопряженное число.  

• Пример: z сопряженное равно z сопряженное на z сопряженное.  

• Проверка формулы вручную показывает, что она верна.  

• Умножение комплексных чисел требует проверки перестановочности и ассоциативности.  

• Пример: перемножение комплексных чисел приводит к сумме квадратов.  

• Основная теорема арифметики утверждает, что произведение двух чисел с нормой больше единицы является непростым числом.  

• Если число простое и не является суммой квадратов, то оно равно сумме квадратов.  

• Если число является суммой квадратов, то оно не может быть простым.  

• Простые числа, такие как 3, 7, 11, 19, 23, 31, не являются суммой квадратов.  

• Четные числа, возведенные в квадрат, делятся на 4.  

• Сумма двух квадратов не может иметь остаток 3 при делении на 4.  

• Простые числа вида 4k + 1 не могут быть представлены как сумма квадратов.  

• Теорема Ферма утверждает, что любое простое число вида 4k + 1 можно представить как сумму квадратов.  

• Это утверждение эквивалентно тому, что число теряет простоту.  

• Доказательство через теорему Ферма связано с теоремой Гаусса.  

• Проверка простых чисел, таких как 5, 13, 17, требует больших усилий.  

• Теорема Ферма предоставляет общий критерий для проверки простоты чисел.  

• Доказательство через теорему Гаусса показывает, что простые числа не могут быть представлены как сумма квадратов.  

• Доказательство строится на противоречии: если число простое, то оно не может быть суммой квадратов.  

• Доказательство не является конструктивным, но показывает, что число не может быть простым.  

• Если число составное, то оно обязательно является суммой квадратов.  

• Обсуждение теоремы Вильсона: если п простое, то п-1 факториал плюс 1 делится на п.  

• Применение теоремы к числу вида 4k+1.  

• Использование модулярных очков для игнорирования разницы между числами, дающими одинаковый остаток при делении на п.  

• Объяснение, что числа, дающие одинаковый остаток при делении на п, считаются одинаковыми.  

• Доказательство, что если п простое, то существует с, что ц квадрат плюс 1 делится на п.  

• Применение основной теоремы арифметики для доказательства, что либо ц плюс и, либо ц минус и делится на п.  

• Обсуждение противоречия, что ни ц плюс и, ни ц минус и не делятся на п.  

• Вывод, что п не может быть простым, а значит, оно квадратичное.  

• Вопрос о том, когда а плюс б делится на 1+и.  

• Объяснение, что это возможно только при условии, что а и б одной четности.  

• Построение таблицы делимости для гауссовых чисел.  

• Уравнение икс в кубе минус один и его решение.  

• Исключение возможности, что икс нечетное, так как левая часть четная.  

• Вывод, что икс четное, что приводит к противоречию.  

• Вопрос о наибольшем общем делителе двух чисел.  

• Доказательство, что наибольший общий делитель равен единице.  

• Объяснение, что если бы у чисел был общий делитель, то он был бы простым числом, что противоречит условию.  

• Доказательство, что НОД двух чисел равен единице.  

• Если НОД не равен единице, то есть общий делитель, который является простым числом.  

• Если НОД равен единице, то числа взаимно просты и каждое из них почти является степенью другого.  

• Если произведение чисел равно степени числа, то каждое из них почти является степенью другого.  

• Это утверждение следует из основной теоремы арифметики.  

• Все простые числа входят в степени, кратные степени числа.  

• Уравнение: игрек плюс и умножить на игрек минусы равно кубу.  

• Использование формулы для куба: и равно и умножить на три ц квадрат д минус д в кубе.  

• Решение: д равно минус один, что приводит к единственному решению: ноль, ноль, один.  

• Задача о поиске всех треугольников с целыми сторонами.  

• Взаимная простота чисел следует из уравнения.  

• Решение: икс плюс игрек умножить на икс минус игрек равно зет квадрат.  

• Если НОД равен единице, то числа взаимно просты.  

• Каждый из них почти является квадратом другого.  

• Использование формулы Пифагора для нахождения решений.  

• Взаимно простые пифагоровы тройки можно разложить на множители.  

• Общие делители отсутствуют, кроме единицы.  

• Одно из чисел является квадратом другого.  

• Взаимная простота целых чисел эквивалентна взаимной простоте гаусовых чисел.  

• Разложение на множители включает сопряженные числа.  

• Простые числа входят в четных степенях.  

• Гипотеза: для любого эпсилон существует константа, такая что для любого числа точек на плоскости, сумма расстояний между ними не превышает n в степени 1+ε.  

• Эрдош использовал окружности для анализа.  

• Число разложений числа в сумму двух квадратов зависит от количества простых множителей.  

• Симптотика показывает, что невозможно улучшить оценку для больших чисел.  

• Задача Эрдоша остается нерешенной.  

• Выпускник Дима Захаров предложил гениальную идею для задачи Эрдоша.  

• Канал и сайт продолжают работать, несмотря на блокировки.  

• Математика переживет все трудности.  

• Планы остаются четкими: продолжать выкладывать материалы в интернет.