ОГЭ 2025 | Математика | СтатГрад от 25.09.2024 | Вариант 1(Часть 2)

• Уравнение: $x^2 - 3x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x + 40}$.  

• ОДЗ: $6 - x \geq 0$, следовательно, $x \leq 6$.  

• После упрощения получаем квадратное уравнение: $x^2 - 3x - 40 = 0$.  

• Дискриминант: $D = 9 + 160 = 169$.  

• Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -5$.  

• Проверка ОДЗ: $8 > 6$, следовательно, $x_2 = -5$ — ответ.  

• Два автомобиля едут на 560 км, первый быстрее на 10 км/ч.  

• Первый прибывает на 1 час раньше второго.  

• Скорость первого автомобиля — $x$, второго — $x - 10$.  

• Время первого автомобиля: $t_1 = 560 / x$.  

• Время второго автомобиля: $t_2 = 560 / x - 10$.  

• Уравнение: $t_2 - t_1 = 1$.  

• Умножение на $x$ и $x - 10$: $560x - 560x + 5600 = x^2 - 10x$.  

• Взаимное уничтожение: $x^2 - 10x = 5600$.  

• Дискриминант: $D = 100 + 22400 = 22500$.  

• Корни: $x_1 = 80$ и $x_2 < 0$.  

• Скорость первого автомобиля: $80 км/ч$.  

• Построение графика функции y = |x² + 4x - 5|.  

• Анализ поведения функции в зависимости от знака подмодульного выражения.  

• Если подмодульное выражение положительно, функция y = x² + 4x - 5.  

• Если подмодульное выражение отрицательно, функция y = -x² - 4x + 5.  

• Решение неравенства x² + 4x - 5 ≥ 0.  

• Нахождение корней квадратного уравнения с помощью дискриминанта.  

• Определение интервалов для построения графика.  

• Построение параболы с ветвями вверх.  

• Расстановка знаков по параболе для интервала [−5, 1].  

• Интервалы для функции y: от −∞ до −5, включая, и от 1 до +∞.  

• Раскрытие функции y = -x² - 4x + 5 для интервала [−5, 1].  

• Нахождение вершины параболы по формуле.  

• Подстановка значений x и y для нахождения конкретных точек графика.  

• Построение графика для интервалов от −∞ до −5 и от 1 до +∞.  

• Проверка вершины параболы и нахождение дополнительных точек.  

• Подстановка значений x и y для построения графика.  

• Использование системы координат для построения графика.  

• Подписание осей и построение параболы с пологим переходом.  

• Учёт выколотых точек при построении.  

• Определение количества общих точек графика функции с прямой y = c, где c — константа.  

• Анализ количества общих точек в зависимости от значения c.  

• Вывод о наибольшем числе общих точек — четыре.  

• Прямая, параллельная основанию трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны в точках E и F.  

• Необходимо найти длину отрезка EF, зная AD, BC и отношение CF/FD.  

• Построение трапеции: две стороны параллельны, две другие не параллельны.  

• Прямая, параллельная основанию, пересекает боковые стороны в точках E и F.  

• Отношение CF/FD равно 4:1, что определяет положение точек E и F.  

• Дополнительное построение: продление сторон AB и DC до пересечения.  

• Треугольники BCC, EFS и ADF подобны из-за параллельности BC, EF и AD.  

• Коэффициент подобия равен 20/45.  

• В треугольнике BCC сторона CC относится к стороне SD как 4:9.  

• Обозначаем CC как 4x, SD как 9x, тогда CD = 5x.  

• CF = 4x, FD = x, сумма CF и FD равна 5x.  

• BC является средней линией треугольника EFD.  

• EF = 2BC = 40.  

• В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1.  

• Доказать, что углы B1CC1 и B1BC равны.  

• Дополнительное построение: соединение C1 и B1.  

• Около четырёхугольника BCC1 можно описать окружность.  

• Углы B1CC1 и B1BC опираются на одну и ту же дугу окружности.  

• По теореме о вписанных углах эти углы равны.  

• В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC.  

• Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E.  

• Найти расстояние от точки E до прямой CD, зная AD и BC.  

• Продление AB и CD до пересечения для работы с подобными треугольниками.  

• Обозначение точки пересечения как C.  

• Треугольники BCC и CAD подобны, так как BC параллельно AD.  

• Дополнительное построение высоты в треугольнике BCC для  

• Треугольники SBC и SKD прямоугольные и имеют общую сторону BC = 7.  

• Углы B и K равны как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей CD.  

• Треугольники равны по катету и острому углу.  

• По второму признаку подобия треугольников SBC = SKD.  

• В равных треугольниках соответствующие стороны равны: SC = CD.  

• Обозначаем SC = CD как x.  

• Необходимо найти EN, которая содержится в прямоугольном треугольнике EN.  

• Треугольники EN и SBC имеют общий угол C и прямой угол B.  

• Треугольники EN и SBC подобны по первому признаку подобия.  

• Сходственные стороны пропорциональны: EN / BC = SC / CE.  

• Используем теорему о касательной и секущей: CE² = SC * CD.  

• Выражаем CE через x: CE² = x² * 2x.  

• Находим CE: CE = x√2.  

• Возвращаемся к пропорции: EN / 7 = x√2.  

• Сокращаем x: EN = 7√2.  

• Проверяем ответ: EN = 7√2, что соответствует условию задачи.