Лекция 6 (Действия с векторами. Скалярное произведение)

• Основы векторной алгебры.  

• Лекция номер один.  

• Параграф первый: линейное пространство геометрических векторов.  

• Вектор как упорядоченная пара точек.  

• Обозначение вектора.  

• Вектор как направленный отрезок.  

• Изображение вектора.  

• Понятие длины вектора.  

• Эквивалентность векторов.  

• Сложение векторов.  

• Умножение вектора на число.  

• Линейные комбинации векторов.  

• Линейная независимость системы векторов.  

• Разложение вектора по базису.  

• Стандартный базис и координаты вектора.  

• Понятие проекции вектора на ось.  

• Разложение вектора на составляющие.  

• Свойства проекции вектора.  

• Определение скалярного произведения.  

• Обозначение скалярного произведения.  

• Важность косинуса угла в определении.  

• Скалярное произведение векторов а и б равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними.  

• Проекция вектора на ось определяется как скалярное произведение на единичный вектор, сонаправленный с осью.  

• Распределительное свойство: сумма векторов скалярно умножается на вектор, скобки можно раскрывать.  

• Умножение вектора на число: скалярное произведение умножается на это число.  

• Коммутативность: скалярное произведение не зависит от порядка множителей.  

• Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату длины вектора.  

• Ортогональность: два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.  

• Скалярное произведение равно сумме попарных произведений одноименных координат векторов.  

• Формула: первые координаты умножаются на первые координаты, вторые на вторые и т.д.  

• Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.  

• Косинус угла между векторами равен скалярному произведению, деленному на произведение длин этих векторов.  

• Направляющие косинусы вектора равны координатам вектора, деленным на его длину.  

• Пример: нахождение длины стороны треугольника, угла между сторонами и проекции вектора на ось.  

• Решение: нахождение координат векторов, вычисление длины и угла, вычисление проекции вектора на ось.