5 Несчётность континуума, или Диагональный метод Кантора

• Немецкий математик XIX века Георг Кантор доказал, что множество вещественных чисел нечетно.  

• Это означает, что невозможно выписать все вещественные числа через запятую.  

• Доказательство будет понятнее на примере чисел из отрезка 0-1.  

• Рассматривается таблица чисел из отрезка 0-1, записанных в десятичной системе счисления.  

• Каждое число имеет вид: 0.1, 0.2, 0.3 и т.д.  

• Утверждается, что существует число, которое не входит в эту таблицу.  

• Рассматривается диагональ таблицы: 0.11, 0.22, 0.33 и т.д.  

• Новое число записывается как 0.b1, 0.b2, 0.b3 и т.д., где bn не равно a.  

• Пример: если a = 7, то b = 3.  

• Вещественные числа могут записываться в виде десятичной дроби несколькими способами.  

• Число, построенное методом Кантора, состоит только из цифр 3 и 7.  

• Это число отличается от каждого числа в таблице, так как знаки после запятой не совпадают.  

• Теорема Кантора утверждает, что множество вещественных чисел нечетно.  

• Это доказательство важно для математического анализа и других областей.  

• Диагональный метод Кантора используется для доказательства несчетности вещественных чисел.